Matematické Fórum

byk7 · 10. 10. 2018 21:17

Kolik existuje invertibilních 2x2 matic nad okruhem $\mathbb{Z}/pq\mathbb{Z},$ kde $p\neq q$ jsou prvočísla?

Mnohem ambicioznější otázka – kolik existuje invertibilních $m\times m$ matic nad okruhem $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ?

vanok · 11. 10. 2018 16:15 — Editoval vanok (12. 10. 2018 11:34)

Ahoj ↑ byk7:,
Tvoj prispevok, ak ho chces seriozne prehlbit vedie ku studiu pojmu “linearnej grupy” (ktora sa définuje v pripade k-vektoroch priestorov dimensie n , ( k je komutativne teleso) ako grupa GL(E) k-automorfismov na E.
(Ta je izomorfna z grupou invertibillnych matic nxn z koeficientami v k)

A tradicne na zaklady takejto temy treba minimalne jeden semester pre studenta co ovlada z linearnej algebry maticovy pocet, ako aj determinanty a ma seriozne ukotvene algebricke myslenie.

Pochopitelne, ak mas o to zaujem, je mozne ilustrovat niektore jednoduche pripady tvojej initialnej otazky.

vanok · 11. 10. 2018 18:36 — Editoval vanok (11. 10. 2018 19:45)

Tu mas jednu jednoduchu situaciu.

Nech tvoje teleso k ma q prvkov.
Chces urcit pocet prvkov inversibilnych matic nxn.

Mozny postup.
To znamena, ze stlpce matice tvoria bazu priestoru E.
..... (argumenty dopln)
( ide o cisto kombinatoricku zalezitost.
Mozes pouzit napr toto:

Prvy jej stlpec musi byt nenulovy, cize mas $q^n-1$ moznosti.
Druhy nemoze byt jeho lin. kombinacia. Cize mas $q^n-q$ moznosti.
Treti. $q^n-q^2$ moznocti. ....
Staci?

vanok · 13. 10. 2018 15:41 — Editoval vanok (14. 10. 2018 11:57)

Cau ↑ byk7:,
Pridam male myslienky, ktore mozu pomoct ako prist rychlo k rieseniu podobnych problemov ako v tvojom prispevku. ( nejde o riesenie ale skor nasnerovanie na moznu cestu k nemu)

Najprv, toto citanie moze byt uzitocne
http://forum.matweb.cz/viewtopic.ph … 25#p572825

Co by si povedal o tomto vyroku
tvoje matice du inverzibilne len a len ak ich determinant je inversibilny v $Z_m$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

a o
Nech f je kanonicky morfizmus z $Mat_n (\Bbb Z_m)$ do $Mat_n (\Bbb Z_p)$ ( p je prvocislo z faktorizacie cisla m), potom inverzny obraz v $Mat_n (\Bbb Z_m)$ invezibilnych matic mnoziny $Mat_n (\Bbb Z_p)$ je vytvoreny inverzibilnimi maticamy.

Este pridam vysledok ktory moze posluzit:
G a H su konecne grupy nesudelitelnych radov, tak card Aut (GxH)=(card Aut G)x(card Aut H)

Matematické Fórum

#1 10. 10. 2018 21:17

Invertibilní matice

#2 11. 10. 2018 16:15 — Editoval vanok (12. 10. 2018 11:34)

Re: Invertibilní matice

#3 11. 10. 2018 18:36 — Editoval vanok (11. 10. 2018 19:45)

Re: Invertibilní matice

#4 13. 10. 2018 15:41 — Editoval vanok (14. 10. 2018 11:57)

Re: Invertibilní matice

Zápatí