Matematické Fórum

Pluhtik

Zdravím,
snažím se procvičovat derivace a moc mi to nejde. Momentálně řeším problém s konkrétní funkcí. Tu se snažím upravovat následovně.

f`(x) = $(\frac {x + \sqrt x + 1}{\sqrt x})$ ` = $(\frac {x + x^{\frac 1 2} + x^{0}}{x^{\frac 1 2}})$ ` = $(\frac {x^{\frac 3 2}}{x^{\frac 1 2}} + \frac {x^{0}}{x^{\frac 1 2}})$ ` = $(x^{1} + x^{\frac {-1} {2}})$ ` = $x^{0} + (- \frac 1 2 x ^{\frac {-3}{2}})$ = $1+(-\frac 1 2 * \frac {1}{{\sqrt x^{3}}})$ = $\frac {1}{2*\sqrt {x^{3}}} + 1$

Podle jiného postupu na této stránce: https://www.priklady.eu/cs/matematika/d … unkce.alej ale došli k jinému výsledku. Nemůžu ovšem najít chybu ve svém výpočtu.

misaH · 19. 10. 2018 18:32 — Editoval misaH (19. 10. 2018 18:45)

↑ Pluhtik:

No.

Chyba je napríklad, že si podľa všetkého myslíš, že

$x+x^{\frac 12}=x^{\frac 23}$

(Nemôžeš sčitovať dve rôzne veci - a x je niečo iné ako odmocnina x. Násobiť dve rôzne "veci" môžeš - a vtedy by sa exponenty sčítali, teda
$x\cdot x^{\frac 12}=x^{1+\frac {1}{2}}=x^{\frac 22+\frac 12}=x^{\frac 32}$ )

Plus:

Derivovanie podielu má svoje pravidlo, treba ho použiť...

Pluhtik

To je překlep (už jsem ho opravil). Chapu, kde jsem udelal chybu.

misaH · 19. 10. 2018 19:35 — Editoval misaH (19. 10. 2018 19:45)

↑ Pluhtik:

Ale veď píšem, že pri sčitovaní to nefunguje, neplatí, že

$x+x^{\frac 12}= x^{\frac 32}$

n e p l a t í to

Nemôžeš sčitovať dve rôzne veci - a x je niečo iné ako odmocnina x.

To by tam muselo byť medzi mocninami x znamienko krát a to tam nie je, je tam plus.

misaH · 19. 10. 2018 19:40 — Editoval misaH (19. 10. 2018 19:43)

↑ Pluhtik:

No - myslím, že nechápeš.

Chyba bola v tom, že si nepoužil pravidlo pre derivovanie podielu.

$$\frac{f(x)}{g(x)}$'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

Pluhtik · 19. 10. 2018 22:46

Vím, jak to myslíš. Nicméně v tom odkazu, který jsem dával, jsou i jiné derivace - např. příklady č. 3, 4, 5, 6, kde jsou funkce také zapsané jako zlomky a tam se pravidlo pro derivaci podílu nepoužívá. Proč?

Pomeranc · 19. 10. 2018 22:53

↑ Pluhtik:

Může se to použít, ale u derivaci podílu se stává, že to vychází nepěkně.
Tak jelikož to tentokrát šlo spočítat jiným a hezčím způsobem, tak to tak udělali.

misaH · 19. 10. 2018 23:02

↑ Pluhtik:

No ale tie zlomky musia byť upravené správne a nie tak, že súčet

$x+x^{\frac 12}$

je nahradený "výsledkom"

$x^{\frac 32}$ alebo $x^{\frac 23}$ .

Keby si tie zlomky rozdelil na 3, vydelil a zderivoval potom, postup by bol správny.

misaH · 19. 10. 2018 23:11

$$\frac {x + \sqrt x + 1}{\sqrt x}$'=$\frac {x}{\sqrt x}$'+$\frac {\sqrt x}{\sqrt x}$'+$\frac {1}{\sqrt x}$'$

a to je

$$x^{\frac 12}$'+1'+$x^{-\frac 12}$'$

a asi pre x musia platiť nejaké podmienky...

Pluhtik

Ano, já tě chápu, misaH. Vím, co jsem tam měl za chyby a napravil jsem je. Asi jsi četla můj příspěvek, kde jsem na tebe reagoval trošku hloupě a pořád tu chybu dělal.

Mimochodem, můžu při úpravě funkce, aby se mi líp derivovala použít některé věci - jako například 1 nahradit $x^{0}$ nebo derivaci např. $\frac {x+1}{\sqrt x + 1}$ vynasobit $\frac {\sqrt x - 1}{\sqrt x - 1}$ jako při klasickém řešení jiných problémů (např. v limitách)? Nebo je taková úprava zakázána? Asi je to ale hloupost, že? Lepší je zbavit se odmocnin tím způsobem, že z nich udělám mocniny se zlomkem jako exponentem, že?

misaH · 19. 10. 2018 23:18

↑ Pluhtik:

No.

Všetky tie funkcie sa dali upraviť tak, že pravidlo o derivácii podielu nebolo treba použiť.

A v poslednom príklade urobili presne tú úpravu, ktorú si mal použiť.

Proste sa treba vrátiť k úprave algebraických zlomkov, pripomenúť si základné pravidlá...

misaH · 19. 10. 2018 23:22 — Editoval misaH (19. 10. 2018 23:24)

↑ Pluhtik:

Ahoj.

Všetky (ale správne urobené a užitočné) úpravy zlomkov alebo iných výrazov možno robiť aj pred derivovaním.

Rovnako možno odmocniny nahradiť prepisom na zlomky do exponentov.

Treba ale dodržiavať podmienky úprav, napríklad, že párne odmocniny zo záporných čísel v reálnych číslach neexistujú.

Pluhtik · 19. 10. 2018 23:22

Každopádně moc díky za rady :) v matematice jsem hodně zaspal, opět, kvůli jiným předmětům a teď mě tlačí čas. Přes víkend musím všechno dohnat.

misaH · 19. 10. 2018 23:25

↑ Pluhtik:

Tak sa drž - nech ti to vyjde...

Pluhtik · 19. 10. 2018 23:26

Díky :)

MichalAld · 20. 10. 2018 12:20

Derivováním (čehokoliv) se nám výraz skoro vždycky zesložití. Takže je zpravidla lepší si jej nejprve zjednodušit, pokud je to možné, a teprve potom derivovat. Derivovat zlomek je myslím skoro to nejsložitější, co se dá dělat, pokud existuje způsob, jak se zlomku zbavit, je většinou lepší to udělat před tím, než se pustíme do derivování.

Jako třeba tady:

$f(x)=\frac{\frac{x^2}{x^3}}{\frac{x^4}{x^5}}$

Určitě můžeme aplikovat vzorce pro derivování zlomků na ten první zlomek, a pak ještě na každý z těch dílčích (a strávit tím příjemné sobotní dopoledne), ale můžeme si také zlomek zjednodušit (pokrátit) - a zjistíme, že to vyjde rovno jedné, a zderivovat tu jedničku je určitě jednodušší.

Matematické Fórum

#1 19. 10. 2018 18:19 — Editoval Pluhtik (19. 10. 2018 18:50)

Derivace

#2 19. 10. 2018 18:32 — Editoval misaH (19. 10. 2018 18:45)

Re: Derivace

#3 19. 10. 2018 18:53 — Editoval Pluhtik (19. 10. 2018 18:54)

Re: Derivace

#4 19. 10. 2018 19:35 — Editoval misaH (19. 10. 2018 19:45)

Re: Derivace

#5 19. 10. 2018 19:40 — Editoval misaH (19. 10. 2018 19:43)

Re: Derivace

#6 19. 10. 2018 22:46

Re: Derivace

#7 19. 10. 2018 22:53

Re: Derivace

#8 19. 10. 2018 23:02

Re: Derivace

#9 19. 10. 2018 23:11

Re: Derivace

#10 19. 10. 2018 23:18 — Editoval Pluhtik (19. 10. 2018 23:19)

Re: Derivace

#11 19. 10. 2018 23:18

Re: Derivace

#12 19. 10. 2018 23:22 — Editoval misaH (19. 10. 2018 23:24)

Re: Derivace

#13 19. 10. 2018 23:22

Re: Derivace

#14 19. 10. 2018 23:25

Re: Derivace

#15 19. 10. 2018 23:26

Re: Derivace

#16 20. 10. 2018 12:20

Re: Derivace

Zápatí