Matematické Fórum

Tohle je zrovna takový blbý příklad na rozdíl mezi maximem a supremem.

Základní rozdíl mezi nimi je (slovy řečeno) v tom, že maxima ta funkce někde nabývá, kdežto suprema né, k supremu se může jen libovolně přiblížit.

U funkcí, které nemají omezený definiční obor, bývá to supremum většinou  až "v nekonečnu". Třeba funkce má supremum 0 v obou nekonečnech (kladném i záporném). Není to ovšem maximum, protože ono "nekonečno" není žádné číslo, a pro žádné číslo x nám to rovné nule nevyjde. Jen to může být nule libovolně blízké.

Zatímco funkce má maximum rovné nule v bodě x=0. Když za x dosadíme nulu, dostaneme funkční hodnotu taky nulu, což je to maximum. To se nám v předchozím případě nikdy nepodaří.


Teď ale k tomu, na co ses vlastně ptala. Pokud omezíme definiční obor funkce, tak může mít své maximum (či minimum) v některém z těch krajních bodů. Pokud to bude funkce rostoucí, bude mít v "pravém" krajním bodě maximum. 

Máme tedy třeba funkci y=5x, a definiční obor omezíme intervalem <-2, 8>. Je jasné, že v bodě x=8 bude mít funkce maximum. Není to ovšem vlastnost té funkce y=5x (narozdíl od přechozích případů) ale toho, že jsme omezili její definiční obor, že jinde už funkce není definována.

Pokud omezíme její definiční obor otevřeným intervalem, např (-2, 8), měla by funkce v bodě x=8 zase maximum, (je to stejná funkce), ale ona už v tomto bodě není definována, takže tam maximum mít nemůže. Je ale definována pro všechna libovolně blízká x, takže i její hodnota se může tomu "původnímu maximu" libovolně přiblížit, takže tam má to supremum.

Celý trik je prostě v tom, že  samotná funkce na svůj definiční obor žádné omezení neklade (y=5x lze spočítat pro jakékoliv x), a protože je rostoucí, tak žádné maximum ani supremum nemá. Pokud jí ovšem definiční obor uměle omezíme, tak tím to maximu (když jej omezíme uzavřeným intervalem) nebo supremum (když omezíme otevřeným itervalem) vytvoříme.

Je to spíš takový nepříjemný důsledek té definice maxima či suprema. A není z toho podle mě žádný velký užitek, je to spíš taková starost navíc. Zpravidla nás zajímají maxima (či suprema) funkcí samotných, které ničím "neomezujeme v rozletu", než maxima a suprema, která sami uměle vytváříme.

↑ MichalAld:

Ahoj, jen takova poznamka:

MichalAld napsal(a):

...že maxima ta funkce někde nabývá, kdežto suprema né,...

Myslim, ze pokud nabyva maxima, potom je toto maximum rovno supremu, ne? :)

MichalAld napsal(a):

...a protože je rostoucí, tak žádné maximum ani supremum nemá.

Napr. podle Demidovice plati: Neni-li mnozina X omezena shora, klademe .

↑ laszky:

:-)

Ahoj.

Ja si tiež myslím, že v určitých prípadoch sa supremum môže zhodovať s maximom, definícia je tuším taká, že supremum je najmenšie z horných ohraničení (asi v tomto prípade funkcie).

(asi si reagoval na Michala, však?)

↑ misaH: Viem, ale zadavatelka nerozumie samotnemu pojmu supremum. Ak by rozumela, nemala by problemy so supremom funkcie, tam ide len a len o mnozinu jej funkcnych hodnot.

↑ MichalAld:

Ahoj.

Nemyslím si, že pojmy supremum a infimum sú len také neužitočné "hračky".

Možno vlado_bb by mohol vložiť k tejto téme nejaký ľudským jazykom vyslovený komentár. Čítala som niečo o budovaní reálnych čísel...

↑ misaH:

Nj, stane se :D ...beztak to bylo nejake Freudovske ukliknuti.

↑ laszky:

Tak hej... mám 62 rokov :-D

↑ _julia: Ano, ak ma funkcia maximum, tak nas moze (a nemusi) zaujimat, v ktorom bode. Este k tvojej formulacii "... ale nemá maximum, pretože ho nevieme presne určiť ..." - nie je pravda, ze funkcia nema maximum, pretoze ho nevieme presne urcit. Funkcia nema maximum preto, lebo ho nema. Nie je mozne (presne ani nepresne) urcovat nieco, co neexistuje.