Matematické Fórum

Kleanthés · 19. 10. 2018 11:50

Ahoj, potřeboval bych poradit s následujícímu příklady.

1) $f(x)=\frac{x(x^{2}+5)}{tg(\frac{1}{x^{7}})\cdot ln\sqrt[3]{x^{2}}}$ Určit definiční obor.

Řešení:

1.1 ${tg}x\not=0 \Rightarrow \frac{1}{x^{7}}\not=k\frac{\pi }{2} \Rightarrow x\not= \frac{\sqrt[7]{2k^{6}\pi ^{6}}}{k\pi}$ $k \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$

1.2 $\ln x \not= 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x^{2}} \not= 1 \Rightarrow {x} \not= \pm 1$

1.3 $\sqrt[3]{x^{2}}>0\Rightarrow x \not= 0$

Předpokládám, že podmínky jsem určil správně (přesto prosím o kontrolu). Jak teď rozumně zapsat výsledný definiční obor?

2) $f(x)=\sqrt{4^{|x+1|}-3^{x}}$ Taktéž určit definiční obor.

2.1 $\frac{|x+1|}{x}\ge \log_4{3}$ Nerovnici jsem zlogaritmoval a dospěl jsem zde.

Nakonec mi z toho vyšlo: $D(f)=(-\infty; \frac{1}{c-1}) \bigcup (0;\infty )$ $c=\log_4{3}$

Podle Wolframu je už i ta nerovnice nesprávná (proč?).

3) Obecný dotaz - např. zlogaritmování nerovnice mění nerovnost pokud je logaritmus klesající funkce? Pokud ano, jak je to v případě funkcí, které nejsou ani rostoucí ani klesající, např. tangens?

krakonoš

.V 1.3 jde logaritmus do minus nekonecna,kdyz jdes k nule zprava.Tam nedelis nulou.Pardon. Spletly se mi 2 radky. Tam vlastne musime uvazovat log kladneho cisla.
Z def oboru R bych vyjmula hodnoty -1;0;1;k.pi/2 pro k rovno 1,2,3.....
U toho bodu 2.1 je jakymsi zlomem bod -1.Nutno si uvedomit,ze abs hodnota i klesa,proto se mi nezda to logaritmovani.. Tady se budou muset rozlisit intervaly minus nekonecno az minus jedna.Dale minus jedna az nula a nula az nekonecno Odstranit si absol hodnotu a resit nerovnice. Na intervalu -1;0 bude asi zlom,kde neni definovana.

Rumburak

↑ Kleanthés:

Ahoj.

Určit definiční obor funkce znamená vyhnout se případům, kdy by funkce nebyla definována.
Například u funkce $y = \log \tan \frac{1}{x}$ ("tan" znamená "tangens") je potřeba klást podmínky

(1) $x \ne 0$ , aby měl smysl zlomek $\frac{1}{x}$ (jak víme, nulou dělit nelze),

dále

(2) $\frac{1}{x} \ne (2k + 1)\frac{\pi}{2}$ , kde $k$ je celé číslo (viz definiční obor funkce tangens),

a konečně

(3) $\tan \frac{1}{x} > 0$ (viz definiční obor logaritmické funkce).

Obvykle je požadováno explite vyjádřit "průnik" takových podmínek formulí tvaru

$x \in ...$ nebo aspoň $x \notin ...$ .

Kleanthés · 19. 10. 2018 13:45

↑ Rumburak:
Ano, to všechno já samozřejmě vím (viz mé příklady a řešení). Prosím o kontrolu mého řešení.

Kleanthés · 19. 10. 2018 13:47

↑ krakonoš:
Já právě nevím, jak funguje to zlogaritmování - domníval jsem se, že záleží na monotonii logaritmu, ne funkce, kterou chci zlogaritmovat. Jak to tedy je?

krakonoš

Pokud bude a mensi nez b ,mohu na ne pouzit rostouci funkci napr log a zustane mensi nez log b.Predstav si,ze pouzijes na a mene nez b exponencielu. Tim ale napr pro a rovno jedne a b rovno stu razantne zvysis rozdil . Puvodne byl rozdil 99, a vem si jaky bude nyni. Pokud bys na a mene nez b pouzil klesajici fci napr minus e nax. Nerovnost nebude zachovana a stane se z ni pravy opak pri urcitych volbach a b.Takze se muze stat,ze nekde se jeste zachova stejn ne pri blizkych a b,jinde uz ne.....

Rumburak · 19. 10. 2018 15:01

↑ Kleanthés:

K úloze 1:

Měníš význam proměnné $x$ , což je chyba. Například: v předpisu funkce $f$ se výraz $tg x$
nevyskytuje, proto nás jeho definice ani hodnota zajímat nemusí. Místo toho nás ale musí zajímat
výraz $\frac{1}{x^7}$ :

- musí být definován, což znamená podmínku $x \ne 0$ ,

- musí padnout do definičního oboru funkce tangens, což znamená podmínku $\frac{1}{x^7} \ne (2k + 1)\frac{\pi}{2}$ , $k$ celé,

- musí být splněno $tg \frac{1}{x^7} \ne 0$ , aby jmenovatel "hlavního" zlomku v předpisu funkce $f$ byl nenulový,
což znamená podmínku $\frac{1}{x^7} \ne k\pi$ , $k$ celé.

Dál jsem nic nekontroloval - předpokládám, že můj dosavadní rozbor by mohl stačit.

Kleanthés · 19. 10. 2018 15:09

↑ krakonoš:
Aha. To mi právě ještě nikdo nevysvětlil, ale už tomu rozumím. Jestli a < b, pak i log a < log b. Pokud na obě strany aplikujeme rostoucí funkci, nerovnost se zachová. Pokud na obě strany aplikujeme klesající funkci, nerovnost se musí obrátit; jestli a < b, pak 0.5^a > 0.5^b (ovšem ne jen při určitých volbách, ale při všech, neboť 0.5^x je klesající na celém svém definičním oboru). Proto obecně nemůžu aplikovat na nerovnost třeba funkci tangens, neboť ta není ryze monotónní. Dále, jestli x < 5, pak musí být i log x < log 5, neboť logaritmus je v tomto případě rostoucí funkce. Stejné by to bylo i pro x^6 > x^5.

Obecně tedy není problém aplikovat ryze monotónní funkci na ryze monotónní funkci. V opačném případě musíme příklad vyřešit jinak. Rozumím tomu správně?

Kleanthés · 19. 10. 2018 15:22

↑ Rumburak:
To je přeci jasné, ale sám jsi předtím napsal, že definiční obor se zadává ve tvaru x náleží... , nikoliv 1/x^7 náleží...

Cituji:
"Obvykle je požadováno explite vyjádřit "průnik" takových podmínek formulí tvaru"

$x \in ...$ nebo aspoň $x \notin ...$ .

krakonoš

↑ Kleanthés:Ano,kdyz aplikujes funkci xnadruhou pro kladna a,b .Zustane nerovnost zachovana. Pro zaporna ale docilis praveho opaku. On vlastne ten problem uzce souvisi s derivaci,jeji znamenko rozhodne,zda fce roste nebo klesa ( pochopitelne spojitych fci co maji derivaci).To je vlastne podil rozdilu funkcnich hodnot a rozdilu bodu na ose x.
Co se tyce toho dalsiho prikladu.

misaH · 19. 10. 2018 17:43 — Editoval misaH (19. 10. 2018 17:45)

↑ Kleanthés:

Měníš význam proměnné $x$ , což je chyba.

Rumburak má pravdu - nemôžeš miešať v 1 zápise rôzne významy premennej x

Buď je argument x alebo ten zlomok, na toto si dávaj veľký pozor.

Keby si napísal, že hodnota funkcie tangens v menovateli nesmie byť 0, bolo by to v poriadku. Keď napíšeš miesto toho niečo o tg x, už je to chyba a dosť veľká...

Kleanthés

↑ krakonoš:
V druhém příkladu jsem postupoval tak, že jsem si rozdělil osu reálných čísel do dvou intervalů, a tak se zbavil absolutní hodnoty. Až poté jsem nerovnice zlogaritmoval a dostal se k výsledku $D(f)=(\frac{1}{c-1};-1) \cup (0;\infty )$ . Předtím jsem udělal drobnou chybu a výsledek mi vyšel jiný. Jde o to, že nakonec dostanu nerovnici ve tvaru a^x > b^x, tu jinak nedokáži vyřešit bez zlogaritmování.

Kleanthés · 19. 10. 2018 18:06

↑ misaH:
Aha, už chápu, co se vám nelíbí. Ano, mám tam chybu, ale pouze formální. Nicméně má otázka zůstává nezodpovězena...

Jak zapsat výsledný definiční obor? Takhle snad?

$x\in \mathbb{R}\setminus \{-1; 0; 1\} \setminus \bigcup_{k\in \mathbb{Z}}^{{}} \frac{ \sqrt[7]{2k^{6}\pi ^{6}} }{k\pi }$

Teď už snad víte, na co se ptám...

misaH · 19. 10. 2018 18:13 — Editoval misaH (19. 10. 2018 18:16)

↑ Kleanthés:

Ahoj - no, úlohu vnímam len okrajovo, do hĺbky sa mi v tom patlať nechce, ešte by som vyrobila nejakú chybu...

ale verím, že niekto ti pomôže.

A je lepšie (podľa pravidiel) dávať každú úlohu do vlastnej témy, aby nevznikol chaos v odpovediach...

Kleanthés · 19. 10. 2018 18:23

↑ misaH:
Udělal jsem formální chybu, děkuji za upozornění. Neuvědomil jsem si to. Pointa mého dotazu k příkladu 1 tkvěla v tom, že si nevzpomínám, jak se zapisuje "velké sjednocení", zda je možné to zapsat třeba takto:

$x\in \mathbb{R}\setminus \{-1; 0; 1\} \setminus \bigcup_{k\in \mathbb{Z}}^{{}} \frac{ \sqrt[7]{2k^{6}\pi ^{6}} }{k\pi }$

Podmínky je třeba nějak sjednotit... Taky jsem upravil ten zlomek, aby nebyla odmocnina ve jmenovateli.

Teď taky vidím další chybku. Má tam být $k\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$

krakonoš · 19. 10. 2018 18:35

Pro x rovno vetsi nez -1 prejde abs hodnota v x plus 1.Vyraz pod odmocninou musi byt roven nebo vetsi nez nula.Postupne se dostaneme k nerovnici 4 rovno vetsi nez (3/4) umocneno na x (klesajici epon funkce) Nakresli si tyto dve funce a spocti,kde je ta hranice. Mel by ti vyjit interval
max(-1;log4/log(3/4));nekonecno.
Podobne postupuj pro x mensi nez -1.
Zde se porovnava konst funkce 1/4 rovno vetsi nez 12 umocneno na x.Opet se vysleduje hranice,kdy jde funkce pod 1/4 a zaroven je x mensi nez -1. Tady by to mel byt intetval -nekonecno;min(-1;log(1/4)/log12).
To min a max je tam protoze nemam tabulky a nejsem schopna to porovnat.
Takhle to vidim ja. Jesti jsem se nespletla ve vypoctu.

Kleanthés · 19. 10. 2018 20:08

↑ krakonoš:
Ano, takhle by to mělo být správně. Děkuji. :)

Kleanthés · 19. 10. 2018 20:15

↑ misaH:
Tohle je marné.

1) Výsledek mi vyšel naprosto stejně jako Rumburakovi, copak to nevidíš? Podmínky jsou správně (až na tu formální chybu, měl jsem místo tg x => ... použít třeba tg a => ...). Zbytek není divný, jsou to obyčejné algebraické úpravy.

2) Pokud se ptám na X, tak opravdu nechci slyšet odpověď na Y.

Děkuji alespoň za snahu.

misaH · 19. 10. 2018 20:56

↑ Kleanthés:

:-)

Rumburak · 20. 10. 2018 17:38

↑ Kleanthés:

To jsme si nerozuměli. Ve tvaru $x \in ...$ resp. $x \notin ...$
se uvádí až konečný výsledek.

Matematické Fórum

#1 19. 10. 2018 11:50

Určování definičního oboru

#2 19. 10. 2018 12:13 — Editoval krakonoš (19. 10. 2018 13:11)

Re: Určování definičního oboru

#3 19. 10. 2018 13:28 — Editoval Rumburak (19. 10. 2018 13:45)

Re: Určování definičního oboru

#4 19. 10. 2018 13:45

Re: Určování definičního oboru

#5 19. 10. 2018 13:47

Re: Určování definičního oboru

#6 19. 10. 2018 13:55 — Editoval krakonoš (19. 10. 2018 14:07)

Re: Určování definičního oboru

#7 19. 10. 2018 15:01

Re: Určování definičního oboru

#8 19. 10. 2018 15:09

Re: Určování definičního oboru

#9 19. 10. 2018 15:22

Re: Určování definičního oboru

#10 19. 10. 2018 15:56 — Editoval krakonoš (19. 10. 2018 15:58)

Re: Určování definičního oboru

#11 19. 10. 2018 17:43 — Editoval misaH (19. 10. 2018 17:45)

Re: Určování definičního oboru

#12 19. 10. 2018 17:56 — Editoval Kleanthés (19. 10. 2018 18:15)

Re: Určování definičního oboru

#13 19. 10. 2018 18:06

Re: Určování definičního oboru

#14 19. 10. 2018 18:06 — Editoval misaH (19. 10. 2018 20:53) Příspěvek uživatele misaH byl skryt uživatelem misaH.

#15 19. 10. 2018 18:13 — Editoval misaH (19. 10. 2018 18:16)

Re: Určování definičního oboru

#16 19. 10. 2018 18:23

Re: Určování definičního oboru

#17 19. 10. 2018 18:35

Re: Určování definičního oboru

#18 19. 10. 2018 19:01 — Editoval misaH (19. 10. 2018 20:54) Příspěvek uživatele misaH byl skryt uživatelem misaH.

#19 19. 10. 2018 20:08

Re: Určování definičního oboru

#20 19. 10. 2018 20:15

Re: Určování definičního oboru

#21 19. 10. 2018 20:23 — Editoval misaH (19. 10. 2018 20:55) Příspěvek uživatele misaH byl skryt uživatelem misaH.

#22 19. 10. 2018 20:56

Re: Určování definičního oboru

#23 20. 10. 2018 17:38

Re: Určování definičního oboru

Zápatí