Matematické Fórum

geekercz · 20. 10. 2018 16:52

Mám tuto racionální funkci rozložit na parciální zlomky:

$\frac{x^4+1}{x^3-x^2+x-1}$

Po vydělení dostanu:

$x+1+\frac{2}{x^3-x^2+x-1}$

Vím, že parciální zlomek má vypadat:

$x+1+\frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{x^2+1}$

Ale netuším, jak na tuto ekvivalenci, jak tu pravou stranu dostat:

$\frac{2}{x^3-x^2+x-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{x^2+1}$

Díky za pomoc.

laszky · 20. 10. 2018 16:56

↑ geekercz:

Ahoj. Rozloz si ten jmenovatel na soucin:

$\frac{2}{x^3-x^2+x-1}=\frac{2}{(x^2+1)(x-1)} = \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$

Cisla A,B a C pak musis dopocitat tak, aby platila rovnost.

geekercz · 20. 10. 2018 17:05

laszky:

Díky. Já to v tom ten vzoreček neviděl.

geekercz · 20. 10. 2018 17:49

Tak dostal jsem se k:

$2 = (A+B)x^2+(-B+C)x+A-C$

Což vede na soustavu rovnic:

$x^2: 0 = A+B$

$x^1: 0 = -B+C$

$x^0: 2 = A-C$

Pak:

$C=A-2$

Po dosazení do třetí rovnice:

$2=A-(A-2)$

$2=2A+2$

$0 = 2A$

$A = 0$

Přičemž A má být rovno jedné. Kde dělám chybu?

laszky · 20. 10. 2018 17:56 — Editoval laszky (20. 10. 2018 17:57)

↑ geekercz:

$C=A-2$

je z te treti rovnice, tak nemuzes dosazovat zase do treti rovnice :D

(Navic A-A=0, nikoli 2A)

Napoveda: Zkus vsechny tri rovnice secist ;-)

misaH · 20. 10. 2018 17:58 — Editoval misaH (20. 10. 2018 18:00)

↑ geekercz:

Nemôžeš dosadiť do rovnice, z ktorej si vyjadril

plus

zle si upravil druhý riadok.

misaH · 20. 10. 2018 17:59 — Editoval misaH (20. 10. 2018 18:01)

Hehe - ale aspoň to má zadávateľ potvrdené z troch zdrojov.

geekercz · 20. 10. 2018 18:02

:-D Proč to dělat jednoduše, když to jde složitě...

Už to mám.

A samozřejmě by to mělo být A - A = 0. :-D

Opět díky moc.

geekercz · 20. 10. 2018 20:49

Tady mám příklad:

$\frac{5x^3+18x^2+30x+23}{x^4+4x^3+9x^2+10x+4}$

Tento příklad potřebuji rozebrat na parciální zlomky.

Jak to rozložit výpočtem?

Vím, že to má být (z Mathwaye):

$(x+1)^2(x+2x+4)$

Vím, jak výpočetně rozložit jmenovatel z tohoto příkladu:

$\frac{10x^2+1x+20}{(x^3-8)}$

$(x^3-8)$

Jaké číslo za x mohu dosadit, aby závorka byla 0? 2:

$(x^3-8)$

$(2^3-8)=0$

$x^3-8=0$

$x^3=8$

$x=\sqrt[3]{8}$

$x=2$

Dosadím do závorky ve tvaru (x-2):

$(x^3-8):(x-2)=x^2+2x+4$

Takže vím, že:

$(x^3-8) = (x-2)(x^2+2x+4)$

laszky · 20. 10. 2018 21:32 — Editoval laszky (20. 10. 2018 23:20)

↑ geekercz:

Ahoj, klicove je prijit na ten rozklad

$x^4+4x^3+9x^2+10x+4=(x+1)^2(x^2+2x+4)$

Na to lze prijit nekolika zpusoby. Uplne obecne (iracionalni) koreny se hledaji tezko, proto byvaji priklady zadany tak, ze koreny polynomu jsou celociselne. V takovem pripade jsou koreny deliteli absolutniho clenu, v tomto pripade ctyrky, coz dava pouze 6 celociselnych moznosti (-1,+1,-2,+2,-4,+4). Zkousi se jednotlive moznosti, pri cemz se vyuziva napr. Hornerovo schema. Pokud je nejaky koren polynomu p(x) vicenasobny, lze vyuzit toho, ze je rovnez delitelem derivace p'(x). A nasledne se pouzije Eukliduv algoritmus. V tvem konkretnim pripade:

$p(x)=x^4+4x^3+9x^2+10x+4$
$p'(x)=4x^3+12x^2+18x+10$

$4p(x)-xp'(x)=4x^3+18x^2+30x+16$
$4p(x)-xp'(x)-p'(x) = 6x^2+12x+6=6(x^2+2x+1)=6(x+1)^2$

Takze -1 je vicenasobnym korenem polynomu p. Potom spocitas $p(x)/(x+1)^2$ a zjistis, ze dostanes ireducibilni kvadraticky clen.

misaH · 20. 10. 2018 21:34 — Editoval misaH (20. 10. 2018 21:35)

↑ laszky:

Asi ti chýba druhá mocnina v druhej zátvorke na začiatku výkladu...

laszky · 20. 10. 2018 21:41

↑ misaH:

Dik. ;)

geekercz · 20. 10. 2018 23:52

Nakonec jsem to vyřešil přes Hornerovo schéma:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-10/72160_Hornerovo%2Bsch%25C3%25A9ma%2Bma%2Brozklad%2Bmnoho%25C4%258Dlene.jpg

Jde to trochu hůře vidět, ale vyšlo mě:

$x^4+4x^3+9x^2+10x+4=(x+1)(x^3+3x^2+6x+4)$

Provedl jsem zkoušku přes Symbolab:

geekercz · 21. 10. 2018 00:46

Teď, když mohu zlomek "roztrhnout", potřeboval bych pomoci dopočítat koeficienty A, B, C.

laszky · 21. 10. 2018 01:05

↑ geekercz:

$\frac{5x^3+18x^2+30x+23}{(x+1)^2(x^2+2x+4)} \; = \; \frac{A}{(x+1)^2} + \frac{B}{x+1} + \frac{Cx+D}{x^2+2x+4}$

geekercz

Díky. A kdybych to chtěl řešit s mým výpočtem? Jak by vypadaly koeficienty?

$x^4+4x^3+9x^2+10x+4=(x+1)(x^3+3x^2+6x+4)$

$\frac{5x^3+18x^2+30x+23}{(x+1)(x^3+3x^2+6x+4)}$

laszky · 21. 10. 2018 01:25 — Editoval laszky (21. 10. 2018 01:37)

↑ geekercz:

Parcialni zlomky obsahuji ve jmenovateli linearni nebo kvadraticke polynomy a jejich mocniny. Kubicky polynom musis jeste dale rozlozit. ;-)

geekercz · 21. 10. 2018 01:30

Takže mým postupem musím vzít

$x^3+3x^2+6x+4$

Použít znovu Hornerovo schéma a rozložit na dvě závorky, abych srazil kubickou mocninu?

laszky · 21. 10. 2018 01:34

↑ geekercz:

Ano ;-)

geekercz · 21. 10. 2018 01:42

A ještě jeden dotaz.

Mám zmatek v tom, jak se určují koeficienty.

Tento:

$\frac{A}{1}+\frac{B}{1}+\frac{Cx + D}{1}$

Nejjednodušší případ:

$\frac{A}{1}+\frac{B}{1}$

A pak ještě:

$\frac{A}{1}+\frac{Bx+C}{1}$

Vím, že jsou podmínky, kdy použiji jaký. A + B poznám. U těch ostatních se hledí konkrétně na co?

laszky · 21. 10. 2018 01:48

↑ geekercz:

Pokud je ve jmenovateli zlomku linearni polynom (nebo jeho mocnina), potom je v citateli konstanta. Pokud je ve jmenovateli zlomku kvadraticky polynom (nebo jeho mocnina), potom je v citateli linearni polynom.

Matematické Fórum

#1 20. 10. 2018 16:52

Pomoc s řešením příkladu

#2 20. 10. 2018 16:56

Re: Pomoc s řešením příkladu

#3 20. 10. 2018 17:05

Re: Pomoc s řešením příkladu

#4 20. 10. 2018 17:49

Re: Pomoc s řešením příkladu

#5 20. 10. 2018 17:56 — Editoval laszky (20. 10. 2018 17:57)

Re: Pomoc s řešením příkladu

#6 20. 10. 2018 17:57 Příspěvek uživatele Jj byl skryt uživatelem Jj. Důvod: Zbytečné

#7 20. 10. 2018 17:58 — Editoval misaH (20. 10. 2018 18:00)

Re: Pomoc s řešením příkladu

#8 20. 10. 2018 17:59 — Editoval misaH (20. 10. 2018 18:01)

Re: Pomoc s řešením příkladu

#9 20. 10. 2018 18:02

Re: Pomoc s řešením příkladu

#10 20. 10. 2018 20:49

Re: Pomoc s řešením příkladu

#11 20. 10. 2018 21:32 — Editoval laszky (20. 10. 2018 23:20)

Re: Pomoc s řešením příkladu

#12 20. 10. 2018 21:34 — Editoval misaH (20. 10. 2018 21:35)

Re: Pomoc s řešením příkladu

#13 20. 10. 2018 21:41

Re: Pomoc s řešením příkladu

#14 20. 10. 2018 23:52

Re: Pomoc s řešením příkladu

#15 21. 10. 2018 00:46

Re: Pomoc s řešením příkladu

#16 21. 10. 2018 01:05

Re: Pomoc s řešením příkladu

#17 21. 10. 2018 01:22 — Editoval geekercz (21. 10. 2018 01:27)

Re: Pomoc s řešením příkladu

#18 21. 10. 2018 01:25 — Editoval laszky (21. 10. 2018 01:37)

Re: Pomoc s řešením příkladu

#19 21. 10. 2018 01:30

Re: Pomoc s řešením příkladu

#20 21. 10. 2018 01:34

Re: Pomoc s řešením příkladu

#21 21. 10. 2018 01:42

Re: Pomoc s řešením příkladu

#22 21. 10. 2018 01:48

Re: Pomoc s řešením příkladu

Zápatí