Matematické Fórum

temat012

Vedel by mi niekto poradit, ako aspon zacat riesit takyto prikad? (zatvorka n1+n2+n3+n4 = 5 ma byt pod sumou)

$\Sigma (n_1+n_2+n_3+n_4=5) \frac{6^{n_{2}-n_{4}{}}(-7)^{n_{1}}}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!n_{4}!}$

laszky · 18. 10. 2018 23:30

Ahoj, podle multinomicke vety je

$\sum_{n_1+n_2+n_3+n_4=n}\frac{n!\,x_1^{n_1}x_2^{n_2}x_3^{n_3}x_4^{n_4}}{n_1!n_2!n_3!n_4!} \;\; = \;\; (x_1+x_2+x_3+x_4)^n$

Ty mas secist

$\sum_{n_1+n_2+n_3+n_4=5}\frac{(-7)^{n_1}6^{n_2}1^{n_3}\left(\frac{1}{6}\right)^{n_4}}{n_1!n_2!n_3!n_4!}\;\;=\;\;\frac{1}{5!}\sum_{n_1+n_2+n_3+n_4=5}\frac{5!\,(-7)^{n_1}6^{n_2}1^{n_3}\left(\frac{1}{6}\right)^{n_4}}{n_1!n_2!n_3!n_4!} \;\;=\;\; \cdots$

Paro · 20. 10. 2018 15:22

Mohol by mi to prosím niekto podrobnejšie opísať?

laszky · 20. 10. 2018 15:37

↑ Paro:

Ahoj $6^{-n_4}= \frac{1}{6^{n_4}} = \left(\frac{1}{6}\right)^{n_4}$

Paro · 20. 10. 2018 16:13

↑ laszky:

$\Sigma (n_1+n_2+n_3+n_4=5) \frac{6^{n_{2}-n_{4}{}}(-7)^{n_{1}}}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!n_{4}!}$

Ako mám prosím chápať tú časť kde n2 - n4 ? Odkial zoberiem tú n3?

laszky · 20. 10. 2018 16:47

↑ Paro:

Ahoj.

$6^{n_2-n_4}=6^{n_2}6^{-n_4}=6^{n_2}\frac{1}{6^{n_4}}=6^{n_2}\left(\frac{1}{6}\right)^{n_4}$

a

$1 = 1^{n_3}$

Kdyz tam $n_3$ neni bere se to jako by se nasobilo jednickou, tj $1^{n_3}$

Paro · 20. 10. 2018 20:55

↑ laszky:

Rozmýšlam nad tým ale stále neviem ako mám pokračovať :/

laszky · 20. 10. 2018 21:45

↑ Paro:

Porovnej ty dve sumy vyse (↑ laszky:) a dosad za $x_1,x_2,x_3$ a $x_4$ . ;-)

temat012 · 21. 10. 2018 17:20

takze, ak som to spravne pochopil, mam najst vsetky kombinacie cisel n1,n2,n3,n4 ktore su rozkladom cisla 5 a dosadit ich za exponenty pri cislach x1,x2,x3,x4, pricom za tieto x1,x2,x3,x4 dosadit prislusne hodnoty z citatela?

liko · 21. 10. 2018 17:22

↑ laszky: Ako sa tam dostala ten výraz $\frac{1}{5!}$ . mozes mi to vysvetlit? Dakujem

temat012 · 21. 10. 2018 18:10

↑ liko: cele to nasobil 5! tak to musi aj vydelit.

takze, ak som to spravne pochopil, mam najst vsetky kombinacie cisel n1,n2,n3,n4 ktore su rozkladom cisla 5 a dosadit ich za exponenty pri cislach x1,x2,x3,x4, pricom za tieto x1,x2,x3,x4 dosadit prislusne hodnoty z citatela?

laszky · 21. 10. 2018 18:33

↑ temat012:

Ok, tak to tedy jeste jednou opisu :) ...Chceme spocitat tuto (jiz upravenou) sumu

$\frac{1}{5!}\sum_{n_1+n_2+n_3+n_4=5}\frac{5!\,(-7)^{n_1}6^{n_2}1^{n_3}\left(\frac{1}{6}\right)^{n_4}}{n_1!n_2!n_3!n_4!}$

Vime, ze podobne sumy se pocitaji podle vzorce

$\sum_{n_1+n_2+n_3+n_4=n}\frac{n!\,x_1^{n_1}x_2^{n_2}x_3^{n_3}x_4^{n_4}}{n_1!n_2!n_3!n_4!} \;\; = \;\; (x_1+x_2+x_3+x_4)^n$

Bedlivym porovnanim obou vztahu zjistime, ze staci v druhe sume za $n,x_1,x_2,x_3,x_4$ dosadit vhodna cisla a hned mame vysledek ;-)

Matematické Fórum

#1 18. 10. 2018 18:05 — Editoval temat012 (18. 10. 2018 18:05)

Multinomicka veta - suma

#2 18. 10. 2018 23:30

Re: Multinomicka veta - suma

#3 20. 10. 2018 15:22

Re: Multinomicka veta - suma

#4 20. 10. 2018 15:37

Re: Multinomicka veta - suma

#5 20. 10. 2018 16:13

Re: Multinomicka veta - suma

#6 20. 10. 2018 16:47

Re: Multinomicka veta - suma

#7 20. 10. 2018 20:55

Re: Multinomicka veta - suma

#8 20. 10. 2018 21:45

Re: Multinomicka veta - suma

#9 21. 10. 2018 17:20

Re: Multinomicka veta - suma

#10 21. 10. 2018 17:22

Re: Multinomicka veta - suma

#11 21. 10. 2018 18:10

Re: Multinomicka veta - suma

#12 21. 10. 2018 18:33

Re: Multinomicka veta - suma

Zápatí