Matematické Fórum

PleaseHelpMe · 25. 10. 2018 16:17

Potřeboval bych pomoci s následující úlohou.

Zadání:
Nechť limn→∞an=0 a posloupnost (bn)∞n=1 je omezená. Rozhodněte, které tvrzení je pravdivé:
1)O limn→∞an⋅bn se obecně nedá nic říct.
2)limn→∞an⋅bn neexistuje.
3)limn→∞an⋅bn=0 .
4)limn→∞an⋅bn existuje jen v případě, že je posloupnost (an)∞n=1 monotónní.

Podle mě jsou odpovědi:
1)ne
2)ne
3)ano
4)ano

Ale pro ověření bych potřeboval pomoc od někoho schopnějšího v matematice.
Předem děkuji.

Aspro1 · 25. 10. 2018 16:24 — Editoval Aspro1 (25. 10. 2018 16:26)

4) ne

Nemusí být monotonní. Tady je příklad.

$a_n = \frac{ (-1)^n}{n}; b_n = 1$

S ostatními odpověďmi souhlasím.

PleaseHelpMe · 25. 10. 2018 16:28

↑ Aspro1:
Děkuji za odpověď.
A zbytek je tedy správně ?

Aspro1 · 25. 10. 2018 16:32

Ano, zbytek je správně.

Denx776 · 26. 10. 2018 15:33

Zdravím ta limita Bn neni omezena monotónní, tedy nemusí mít limitu a ta možnost že součin An a Bn = 0 nedává smysl. Nepletu se?

Aspro1 · 26. 10. 2018 15:51

↑ Denx776: Která posloupnost (ne limita) $(b_n)$ není omezená ani monotonní?

Denx776 · 26. 10. 2018 15:54

↑ Aspro1:
Já jen říkám, že se nám dostává informace ze je omezena ale ne monotonni, což znamená že může být oscilujici a tedy mít neexistující limitu.

misaH · 26. 10. 2018 16:03

↑ Denx776:

A nerovná sa $b_n$ číslu 1 ?

Aspro1 · 26. 10. 2018 16:11

↑ Denx776: Ve výroku 4 se mluví o monotonnosti posloupnosti $(a_n)$ a o existenci limity posloupnosti $(a_n \cdot b_n)$ .

Denx776 · 26. 10. 2018 16:14

Aha už asi vím v čem je chyba. Ta posloupnost není rovná 1 ale je to libovolná omezena posloupnost indexovana od n=1 do nekonecna. Chápeme se?

Aspro1 · 26. 10. 2018 16:28

↑ Denx776:Použil jsem $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$ jako příklad nemonotonní posloupnosti s nulovou limitou a $b_n = 1$ jako příklad omezené posloupnosti, ale mohl jsem jako $(b_n)$ použít i jinou omezenou posloupnost.

Denx776

↑ Aspro1: Ale já se vám snažím říct, že existuje i omezená posloupnost, která nemá limitu a tedy nemůžeme tvrdit že pro všechny an * bn platí, ze lim (an * bn) = 0, protože budeme-li mi mít omezenou posloupnost bn takovou, že její limita neexistuje nebude ani součin limity an * bn nulový, ale nebude existovat. Takže podle mě je správná odpověď taková, ze za předpokladu, ze bn je omezená a zároveň monotonní poté existuje i limita (an*bn) a taková možnost tam není, tedy všechny možnosti jsou špatně.

krakonoš · 26. 10. 2018 18:55

Prosim,a co 1)
Vzdyt kdyz nevime nic o existenci limity.Tak se opravdu neda nic rict.

Aspro1 · 26. 10. 2018 20:34

↑ krakonoš: Víme, že $a_n \to 0$ . Tudíž také $|a_n| \to 0$ . Posloupnost $(b_n)$ je omezená, takže $(\exists C > 0)(\forall n \in \mathbb{N})(|b_n| \le C)$ . Z toho vyplývá, že $|a_n \cdot b_n| \le C \cdot |a_n| \to 0$ , tudíž $|a_n \cdot b_n| \to 0$ a také $a_n \cdot b_n \to 0$ .