Matematické Fórum

Saturday · 09. 01. 2008 00:32

Dokažte, že číslo 827 je prvočíslo.

Napadá mě dělit do odmocniny z čísla 827, což je docela dost čísel.

Nejde to nějak lépe?

Marian · 09. 01. 2008 06:58

Cislo 827 je liche, takze budes moct uvazit pouze liche delitele, tedy

3,5,7,9,11,...,23,25,27<sqrt(827).

Neni delitelne tremi ani peti, takze potencialni delitele jsou jiz nyni pouze

7,11,13,17,19,23.

Protoze alternujici soucet neni delitelny jedeneacti, neni ani cislo 827 delitelne jedenacti. Takze mnozina vsech potencialnich delitelu se zmensila na

7,13,17,19,23.

Tady by se to uz overite delenim dalo. Ale delit nemusis, nebot napr.

827=798+29, tedy cislo 827 neni delitelne ani 7, nebot (798=114*7).

Podobne dale. Neni to ale metoda jedina.

Marian · 09. 01. 2008 06:59

Navic bych tvuj prispevek nazval radeji "Dukaz prvociselnosti cisla 827" nebo "Dukaz primality cisla 827".

andrew · 09. 01. 2008 09:30 — Editoval andrew (09. 01. 2008 09:36)

2Saturday : dle me nejlehci zpusob jak to ukazat je pouzit Dirichletovu vetu. Neb je

$827 = 2^5 5^2 +3^3$ . Volbou $a=32, n = 25, b =27$ , pak staci jenom overti, ze $\mathrm{GCD}(a,b)=1$ . Coz plati a lze tedy tvrdit, ze cislo 827 je prvocislo.

Marian · 09. 01. 2008 10:52 — Editoval Marian (09. 01. 2008 11:39)

Mam nekolik vyhrad k prispevku od andrewa. Nemyslim je ale nijak zle, prave naopak.

(1) Posloupnost je dana indexovou mnozinou I (v nasem pripade pro n) a predpisem pro n-ty clen, kde $n\in I$ . Dirichletova veta hovori o aritmenticke posloupnosti
$\left\{ an+b\right\}_{n\in I}$ ,
kde cisla a a b jsou nesoudelna. Tvrdi vsak to, ze existuje nekonecne mnoho takovych $m\in I$ , ze plati "Cislo am+b" je prvocislo. Netvrdi, ze kazde cislo teto posloupnosti je prvocislo. Nevidim tedy duvod, tvrdit na zaklade Dirichletovy vety, ze cislo 827 je prvocislo. Odkud vime, ze je to zrovna takovy clen one posloupnosti, ze 827 je prvocislo. Navic indexova mnozina muze zacinat prvkem 26 a pak bude problem.

Mozna to v tom jen nevidim, ale yatim neverim argumentu s Dirichletovou vetou.

(2) Ciste osobni poznamka ...

Dukaz Dirichletovy vety patri skutecne k matematickym skvostum. Snoubi se teorie nekonecnych rad s teorii cisel. Existuje nekolik techto dukazu, nejjednodussi z nich je tzv. Shappirovo zjednoduseni z roku 1960. Existuje i nekolik tvrzeni obecnejsich. Velice hezky je vztah k prvociselne vete. Podobna analogie totiz existuje i v pripade prvocisel obsazenych v takovych aritmetickych posloupnostech. Velkou roli hraje aritmeticka funkce $\varphi (n)$ .

Kondr · 09. 01. 2008 10:56

@Andrew: Dirichletova věta tady vážně nepomůže.

Pro zjištění prvočíselnosti čísel, které mají stovky cifer, se používají lepší algoritmy, než dělení všemi prvočísly menšími než odmocnina z n, ale ty se u takto malých čísel nevyplácí.

http://en.wikipedia.org/wiki/Primality_test

Saturday · 09. 01. 2008 12:02

@Marian:

Marian napsal(a):
Navic bych tvuj prispevek nazval radeji "Dukaz prvociselnosti cisla 827" nebo "Dukaz primality cisla 827".

Uz bohuzel nemuzu

Jinak dekuju za odpoved

andrew · 09. 01. 2008 12:22

2Marian : Nic se nedeje. Vzdyt od toho ty fora jsou ne, abychom diskutovali. :)

Mea culpa maxima. Omlouvam se, popletl jsem linky a pak uz jsem si to neuvedomil. Puvodne jsem chtel odkazovat na tuto Dirichletovu vetu. Jinak mas naprostou pravdu s tim, ze D. veta z mathwordu "netvrdi, ze kazde cislo teto posloupnosti je prvocislo."

Matematické Fórum

#1 09. 01. 2008 00:32

Dukaz prvočíselnosti čísla 827

#2 09. 01. 2008 06:58

Re: Dukaz prvočíselnosti čísla 827

#3 09. 01. 2008 06:59

Re: Dukaz prvočíselnosti čísla 827

#4 09. 01. 2008 09:30 — Editoval andrew (09. 01. 2008 09:36)

Re: Dukaz prvočíselnosti čísla 827

#5 09. 01. 2008 10:52 — Editoval Marian (09. 01. 2008 11:39)

Re: Dukaz prvočíselnosti čísla 827

#6 09. 01. 2008 10:56

Re: Dukaz prvočíselnosti čísla 827

#7 09. 01. 2008 12:02

Re: Dukaz prvočíselnosti čísla 827

Marian napsal(a):

#8 09. 01. 2008 12:22

Re: Dukaz prvočíselnosti čísla 827

Zápatí