Matematické Fórum

allergo

Ahoj,
mel bych tu dalsi zajimavou ulohu:
- mame nabitou nit

| - osa y
|
______________|______________ - nit
_____,______________|______________,___________> - osa x
|
-a 0 a

- delka niti je 2a
- linearni hustota naboje tau=Q/(2*a)
- jaky bude potencial fi(x,y)=?

Pavel Brožek

Jednoduše vyjádřím potenciál v bodě (x,y):

$\Phi(x,y)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{-a}^{a}\frac{\frac{Q}{2a}\cdot\textrm{d}x'}{\sqrt{(x-x')^2+y^2}}$

a tenhle integrál spočítám:

$\Phi(x,y)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2a}\,\ln$\frac{a-x+\sqrt{(a-x)^2+y^2}}{-a-x+\sqrt{(a+x)^2+y^2}}$$

Mělo by to být dobře, jen se tam pro y=0 na kladné poloose x nesmí přímo dosadit, ale musí se vzít limita y->0, vyjde pak

$\Phi(x>a,y=0)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2a}\,\ln$\frac{a+x}{x-a}$$

(tahle zvláštnost vznikla při integrování, vlastně bychom integrování měli provést pro y=0 zvlášť, ne dělat limitu.)

allergo · 15. 05. 2009 15:12

↑ BrozekP:

Pokud bych chtel vypocist potencialy kolem niti tyk by to bylo takto?:

A z toho bych moh namodelovat eqipotencialy?

Pavel Brožek · 15. 05. 2009 23:37

↑ allergo:

Je ti jasný rozdíl mezi čárkovanými a nečárkovanými x a y? Jak jsem to napsal já to má následující význam: nečárkované x a y jsou souřadnice bodu, v kterém zjišťujeme potenciál. Čárkované jsou pak souřadnice bodu v prostoru, který přispívá k potenciálu v bodě x,y. Přes čárkované souřadnice se integruje (integruje se přes celý prostor, zde je ale nenulový náboj pouze pro y'=0, $x'\in(-a,a)$ .)

Ten druhý řádek je nesmysl - program, který jsi pro počítání integrálu použil vyhodnotil čárku jako derivaci, ne jako jinou proměnnou.

Potenciál se dá opravdu spočítat už pouze vypočtením $\Phi(x,y)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\int_{-a}^{a}\frac{\frac{Q}{2a}\cdot\textrm{d}x'}{\sqrt{(x-x')^2+y^2}}$ (v tom už není žádná fyzika).

Ekvipotenciály bych řešil následovně: Body na jedné ekvipotenciále budou mít potenciál C (pro danou ekvipotenciálu je to konstanta), tedy
$C=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2a}\,\ln$\frac{a-x+\sqrt{(a-x)^2+y^2}}{-a-x+\sqrt{(a+x)^2+y^2}}$$
To můžu přepsat
$C_2=\frac{a-x+\sqrt{(a-x)^2+y^2}}{-a-x+\sqrt{(a+x)^2+y^2}}$ ,

kde $C_2$ je jiná (kladná) konstanta.

allergo · 16. 05. 2009 10:15

↑ BrozekP:
Dekuji za vysvetleni spatne sem pochopil vyznamy tech x a y s carkami. Chtel bych se jeste zeptat zda existuje nejaky program ve kterem bych mohl odsimulovat tvary jednotlivych ekvipotencial pro tuto ulohu?

Pavel Brožek

Ono se s tím dá ještě pracovat. Jestliže přejdeme do nových souřadnic $r,\varphi$ , kde

$x=\sqrt{a^2+r^2}\cos\varphi\nl y=r\sin\varphi\nl r\in(0,+\infty)\qquad\varphi\in[0,2\pi)$ ,

tak můžeme potenciál přepsat v nových souřadnicích

$\Phi(r,\varphi)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2a}\,\ln$\frac{\sqrt{a^2+r^2}+a}{\sqrt{a^2+r^2}-a}$$ ,

Potenciál bude tedy konstantní na souřadnicových čarách, kde r bude konstantní. Jestliže ze zavedení nových souřadnic eliminujeme úhel $\varphi$ (využitím $\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1$ ), dostaneme

$\frac{x^2}{a^2+r^2}+\frac{y^2}{r^2}=1$ ,

což je zřejmě rovnice elipsy s hlavní poloosou $\sqrt{a^2+r^2}$ a vedlejší poloosou r.

Pro vykreslení ekvipotenciál tedy stačí jakýkoliv program schopný zobrazit elipsy.

allergo

↑ BrozekP:

Chtel bych se vas jeste zeptat jakym zpusobem jste prisel na prepocet x a y na fi a r a zda by ste mi zde nenapsal postup jakym jste to provedl?

Dekuji

Pavel Brožek · 25. 05. 2009 10:22

↑ allergo:

Nerozmím příliš vašemu dotazu - žádné alfa jsem ve svém postupu nenašel. Pokud máte na mysli jak jsem přešel od vyjádření potenciálu v kartézských souřadnicích x,y

$\Phi(x,y)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2a}\,\ln$\frac{a-x+\sqrt{(a-x)^2+y^2}}{-a-x+\sqrt{(a+x)^2+y^2}}$$

k vyjádření v nových souřadnicích r, phi

$\Phi(r,\varphi)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2a}\,\ln$\frac{\sqrt{a^2+r^2}+a}{\sqrt{a^2+r^2}-a}$$ ,

tak to jsem pouze provedl dosazení za x a y

$x=\sqrt{a^2+r^2}\cos\varphi\nly=r\sin\varphi$ .

allergo · 25. 05. 2009 12:23

↑ BrozekP:
Omlouvam se za to alfa to sem se jenom prepsal.

K memu dotazu: chtel bych vedet co vas vedlo k tomu ze jste zrovna vybral fi a r (nemam ted namysli primo pismena ale tento tvar)? A dale sem chtel vedet jakymi upravami jste prevedl puvodni vzorec na ten finalni. Zkousel sem si tyto vypocty v Maple ale nepodarilo se mi to.

Dekuji

Pavel Brožek · 25. 05. 2009 13:17

Zkoušel jsem si zobrazit ekvipotenciály

$C_2=\frac{a-x+\sqrt{(a-x)^2+y^2}}{-a-x+\sqrt{(a+x)^2+y^2}}$

pomocí programu Graph a vypadalo to jako elipsy. Zkusil jsem proto zavést souřadnice takové, že souřadnicové čáry budou tvořit elipsy. (Přispělo k tomu také to, že jsem tyto souřadnice už viděl - jsou vhodné také k popisu ekvipotenciál nabité vodivé tyčky).

Zkuste si to spočítat ručně, mělo by to vyjít, jen je to trochu delší počítání: využije se $\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1$ , upraví se argumenty odmocnin v čitateli a jmenovateli:

$\Phi(r,\varphi)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q}{2a}\,\ln$\frac{a-\sqrt{a^2+r^2}\cos\varphi+\sqrt{(\sqrt{a^2+r^2}-a\cos\varphi)^2}}{-a-\sqrt{a^2+r^2}\cos\varphi+\sqrt{(\sqrt{a^2+r^2}-a\cos\varphi)^2}}$$

provede se odmocnění, čitatel a jmenovatel se rozloží na součin a zlomek se pokrátí.

allergo · 25. 05. 2009 19:40

↑ BrozekP:

Dekuji. A uz snad jen naposled bych se chtel zeptat jakym zpusobem jste zadal ekvpotencialy do programu? :)

Pavel Brožek · 25. 05. 2009 19:51

Jde o vykreslení křivky zadané implicitně. V programu Graph je to tlačítko "Vložit novou rovnici nebo nerovnici" (F6). Už stačí jen pro konkrétní křivku zvolit konkrétní hodnoty $a$ a $C_2$ .

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2009 17:26 — Editoval allergo (13. 05. 2009 17:30)

Nabita nit

#2 13. 05. 2009 19:50 — Editoval BrozekP (13. 05. 2009 20:33)

Re: Nabita nit

#3 15. 05. 2009 15:12

Re: Nabita nit

#4 15. 05. 2009 23:37

Re: Nabita nit

#5 16. 05. 2009 10:15

Re: Nabita nit

#6 16. 05. 2009 15:48 — Editoval BrozekP (16. 05. 2009 16:15)

Re: Nabita nit

#7 25. 05. 2009 10:02 — Editoval allergo (25. 05. 2009 12:18)

Re: Nabita nit

#8 25. 05. 2009 10:22

Re: Nabita nit

#9 25. 05. 2009 12:23

Re: Nabita nit

#10 25. 05. 2009 13:17

Re: Nabita nit

#11 25. 05. 2009 19:40

Re: Nabita nit

#12 25. 05. 2009 19:51

Re: Nabita nit

Zápatí