Matematické Fórum
Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
#3 29. 10. 2018 02:11
Re: Binomial sum
be the sum that is supposed to be found. Then![$
a_{n+1}-a_n
&=\sum_{s=0}^r(-1)^s\cdot(r-s+1)\cdot\left({n+1\choose s}-{n\choose s}\right)
=\sum_{s=1}^r(-1)^s\cdot(r-s+1)\cdot{n\choose s-1}\\[.5\baselineskip]
&=\sum_{s=0}^{r-1}(-1)^{s+1}\cdot(r-s)\cdot{n\choose s}
=\sum_{s=0}^r(-1)^{s+1}\cdot(r-s)\cdot{n\choose s}\\[.5\baselineskip]
&=\sum_{s=0}^r(-1)^{s+1}\cdot(r-s+1)\cdot{n\choose s}-\sum_{s=0}^r(-1)^{s+1}\cdot{n\choose s}\\[.5\baselineskip]
&=-\sum_{s=0}^r(-1)^s\cdot(r-s+1)\cdot{n\choose s}+\sum_{s=0}^r(-1)^s\cdot{n\choose s}\\[.5\baselineskip]
&=-a_n+\sum_{s=0}^r(-1)^s\cdot{n\choose s}.
$](/mathtex/4d/4d320124aa381fbd2d68d6047a5ec760.gif "kopírovat do textarea")
, thus![$
a_{n+2}-a_{n+1}
&=\sum_{s=0}^r(-1)^s\cdot\left({n+1\choose s}-{n\choose s}\right)
=\sum_{s=1}^r(-1)^s\cdot{n\choose s-1}
=\sum_{s=0}^{r-1}(-1)^{s+1}\cdot{n\choose s}\\[.5\baselineskip]
&=\sum_{s=0}^r(-1)^{s+1}\cdot{n\choose s}-(-1)^{r+1}{n\choose r}
=-\sum_{s=0}^r(-1)^s\cdot{n\choose s}+(-1)^r{n\choose r}\\[.5\baselineskip]
&=-a_{n+1}+(-1)^r{n\choose r}.
$](/mathtex/a6/a62a67501f5ea436e079b67c63b07e09.gif "kopírovat do textarea")
Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.
Offline