Matematické Fórum

Servv · 28. 10. 2018 22:51

Dobrý den,

mám úkol zjistit jakou musí mít trojúhelník podmínku (jakýkoliv trojúhelník) aby těžnice jedné z jeho stran svírala pravý úhel.

Dostal jsem se asi tak daleko že vím že to má co dělat s poměrem stran, tudíž pyth. větou ale dál jsem se nedostal.

Můžete mě nasměrovat správným směrem? Nemohu za boha přijít na to, při jaké kombinaci poměrů stran by vznikl pravý úhel u těžnice.

misaH · 28. 10. 2018 23:03

↑ Servv:

Aby ťažnica jednej z jeho strán zvierala pravý uhol?

S čím má tá ťažnica zvierať pravý uhol?

misaH · 28. 10. 2018 23:05 — Editoval misaH (28. 10. 2018 23:06)

Ak so stranou, tak sa zameraj na to, v ktorom trojuholníku splýva ťažnica s výškou, lebo výšky trojuholníka sú na strany kolmé..

Servv · 29. 10. 2018 08:51

↑ misaH: Upřesním, těžnice má svírat pravý úhel k těžnici.

Cheop · 29. 10. 2018 10:16 — Editoval Cheop (29. 10. 2018 10:18)

↑ Servv:
Viděl bych to na podmíku:
$c=\frac 23\sqrt{t_a^2+t_b^2}$
a cyklická záměna

Al1 · 29. 10. 2018 13:31

↑ Servv:

Zdravím,

já bych to viděl na načrtnutí celé situace a z náčrtku pak hledání příslušných vztahů.

Aspro1 · 29. 10. 2018 13:46

Možná by se vzhledem k tomu pravému úhlu dala nějak využít Thaletova kružnice.

Al1 · 29. 10. 2018 13:52

Přátelé, pokud ↑ Servv: sám neposkytne aspoň náčrt celé situace, nejsem si jistý, že mu vaše rady či dokonce řešení pomohou. :-)

misaH · 29. 10. 2018 14:19 — Editoval misaH (30. 10. 2018 11:07)

↑ Aspro1:

Ale načo? Alebo je to vtip?

Veď je to úplne triviálna výpočtová úloha -postup naznačil Al1 (strany pomocného trojuholníka sú všeobecne známe časti 2 ťažníc a 1 strana trojuholníka, vzťah napísal Cheop...)

Naozaj to treba nechať na zadávateľovi, ako radí Al1 :-)

Servv · 30. 10. 2018 09:39

Obrázek mi z mobilu nejde nahrát, tak se to pokusím vysvětlit. Mám libovolný trojúhelník a mám vymyslet podmínku, aby alespoň jedna jeho těžnice svírala pravý úhel k druhé těžnici. Zminoval se, ze se tam pouzije pythagorova veta. Takze me napadlo, ze by pomer stran musel byt 1:2:2 tudiz rovnorameny.

Al1 · 30. 10. 2018 10:04 — Editoval Al1 (30. 10. 2018 11:38)

↑ Servv:
A ten rovnoramenný troj. je výsledkem tvého výpočtu? To mi nesedí.
Pythagorova věta je dobrý nápad, vede k podmínce $c=\frac 23\sqrt{t_a^2+t_b^2}$ . Můžeš vyjádřit i strany a, b a případně je dát do poměru.

edit: hledaný troj. může být i rovnoramenný, např.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

misaH · 30. 10. 2018 11:00 — Editoval misaH (30. 10. 2018 11:08)

↑ Servv:

Ahoj.

Čo máš stále s tým pomerom?

Mimochodom - pomerom čoho?

Veď je to úplne triviálna výpočtová úloha -postup naznačil Al1 (strany pomocného trojuholníka sú všeobecne známe časti 2 ťažníc a 1 strana trojuholníka, vzťah napísal Cheop...)

Hint:

Na aké časti delí priesečník ťažníc (čiže bod zvaný ťažisko) jednotlivé ťažnice?

Akou časťou ťažnice je spojnica vrcholu a ťažiska?

No a to treba využiť...

Keď si obrázok nakreslíš, tak to okamžite vidno, zbytočne to komplikuješ.

Servv · 30. 10. 2018 16:26

↑ misaH:
Mel jsem na mysli pomer stran, s tim co jsem sem psal, by platilo, ze by troj byl rovnoramenny.

Dělí je na 2/3 a 1/3, s tím, že delší část těžnice jde do vrcholu.

Když tedy použiju podminku, ktera zde byla napsana, tak to bude znamenat, ze strana c bude tak dlouha, aby z pomocneho troj. vznikl trojuhelnik svirajici v tezisti pravy uhel, tudiz si z pomoc. troj. udelam rovnoramenny. Chápu to správně? Pokud ne, jaky troj. z nej ma tedy vzniknout ?

Jen bych potřeboval vysvětlit, proč je v podmince c=2/3...

ta a tb, proč jsou teznice na druhou a pod odmocninou? Tomu nějak nerozumím proč.

misaH · 30. 10. 2018 17:49 — Editoval misaH (30. 10. 2018 18:43)

↑ Servv:

Rovnoramenný určite nie.

Prečo myslíš, že rovnoramenný? Ťažnice predsa vo všeobecnosti nie sú všetky rovnako dlhé...

Proč

$c=\frac 23\sqrt{t_a^2+t_b^2}$ ?

Lebo pomocný trojuholník je pravouhlý a tudíž preň platí Pytagorova veta.

Keď si ju napíšeš pre pomocný trojuholník so stranou c a dvoma tretinami každej z ťažníc na a a b, tak dostaneš vzťah pre druhú mocninu c a ten po vyjadrení c a zjednodušení dá ten výraz od Cheopa na ktorý sa pýtaš.

Veď si to nakresli...

Nakoniec ti možno naozaj pomôže rysovanie cez tú Talesovu kružnicu ako radí Aspro1 (sorry) aby si pochopil, že tam rovnoramenný pomocný trojuholník (ani celý) byť nemusí...

misaH · 30. 10. 2018 18:07 — Editoval misaH (30. 10. 2018 18:40)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Servv · 30. 10. 2018 18:11

↑ misaH:
Ten rovnoramenný jsem sem cpal, protože s ním mi vycházel úhel těžnice 90 stupňů. Ale to by mi vlastně porušilo zadání.

Aha! Už to chápu proč a jak!

Děkuju vám (všem) strašně moc za rady a za pomoc!

misaH · 30. 10. 2018 18:27 — Editoval misaH (30. 10. 2018 18:32)

:-)

Tak fajn ... drž sa

Tu je obrázok v Geogebre. Po červenej polkružnici sa dá (v Geogebre) hýbať ťažiskom a tým sa mení tvar trojuholníka (veľkého aj pomocného), pričom sa pravý uhol medzi ťažnicami zachováva:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Servv · 30. 10. 2018 18:38

↑ misaH:Děkuju!

Geogebru mám ale teprve se s ní učím ale koukám že je to opravdu krásně vidět v té geogebře.

Ještě jednou moc děkuji!

misaH · 30. 10. 2018 18:39

↑ Servv:

:-)

Servv · 31. 10. 2018 19:24

↑ misaH:Tak jsem zase zpátky, špatně to prý není, ale chce to popsat pomocí vztahu pro strany. Nějak mě nenapadá, jak bych mohl do pyth. věty zakomponovat úhly. Nebo mám jít metodou pokus omyl?

misaH · 31. 10. 2018 19:36 — Editoval misaH (01. 11. 2018 07:03)

↑ Servv:

Takže (vychádzala som z označenia na mojom obrázku):

Zapísala som až 4 Pytagorove vety:

pre c a potom pre 1/2a, 1/2b a 1/2c

Rovnice som zrátala a dostala som, že

$$\frac12a$^2+$\frac12b$^2+$\frac12c$^2=\frac23t_a^2+\frac23t_b^2$

No a k tomu platí vzťah od Cheopa

$c^2=\frac49t_a^2+\frac49t_b^2$

Na pravej strane som potrebovala koeficient 4/9 a nie 2/3, tak som celú 1. rovnicu vynásobila dvoma tretinami.

Potom som už pravú stranu nahradila podľa rovnice od Cheopa a dokončila úpravu rovnice.

Snáď je to správne...

Čo sa mi hlavne nezdá - výsledný vzťah je pre c ...

Ďalej môže byť problém s vyjadrením Pytagorovej vety pre polovicu c - na to som spustila kolmicu zo stredu strany c k ťažnici na a. Úseky na ťažniciach sú potom tretiny ťažníc...

Možno sa dá využiť aj goniometria a je to možno aj jednoduchšie, ale mne sa nechce paprať sa v tých trojuholníkoch - možno niekto iný...

Servv · 04. 11. 2018 08:59

↑ misaH:

Šel jsem na to trochu jinak. V geogebře jsem si udělal trojúhelník, který má 90 stupňů v těžišti. Potom jsem použil pyth. větu pro každý z pomocných trojúhelníků. Z toho mi vyšlo tohle:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-11/16041_45417476_2191080597591170_8902902532372692992_n.jpg
Tohle by se dalo brát jako vztah 3 stran, nebo ne ? Když jsem se ho ptal, říkal, že nejlépe se na to půjde, když se nejdříve vytvoří troj. s tím pravým úhlem v těžtišti a od toho se to odvodí. Zmiňoval také středy stran (proto jsou spodní dva řádky vynásobeny dvojkou, aby mi to dalo celou stranu a ne jen polovinu). Podle geogebry, mi tohle vychází a jsem podle toho schopen vypočítat délky stran, pokud tam je pravý úhel.

Není u toho tvého výpočtu chyba? Vztah cheopa byl: $c=\frac 23\sqrt{t_a^2+t_b^2}$

misaH · 04. 11. 2018 11:28 — Editoval misaH (04. 11. 2018 11:30)

↑ Servv:

Ahoj.

Keď umocníš obidve strany rovnice

$c=\frac 23\sqrt{t_a^2+t_b^2}$ na druhú, dostaneš

$c^2=\frac49t_a^2+\frac49t_b^2$

Kontrolovať Tvoj postup sa mi nechce (a ani ho nevidím, musel by si mi to ukázať celé), svoj návod som poskytla...

misaH · 04. 11. 2018 11:32

↑ Servv:

Tým šípkam smerom k stranám v tvojom zápise nerozumiem...

laszky · 04. 11. 2018 13:40

Ahoj, ja bych rekl, ze kdyz se ta hledana podminka vyjadri jen pomoci delek stran, vychazi mi

$5a^2=b^2+c^2$ ,

eventuelne cyklicka zamena $5b^2=a^2+c^2$ ci $5c^2=b^2+a^2$ .

Matematické Fórum

#1 28. 10. 2018 22:51

Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#2 28. 10. 2018 23:03

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#3 28. 10. 2018 23:05 — Editoval misaH (28. 10. 2018 23:06)

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#4 29. 10. 2018 08:51

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#5 29. 10. 2018 10:16 — Editoval Cheop (29. 10. 2018 10:18)

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#6 29. 10. 2018 13:31

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#7 29. 10. 2018 13:46

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#8 29. 10. 2018 13:52

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#9 29. 10. 2018 14:19 — Editoval misaH (30. 10. 2018 11:07)

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#10 30. 10. 2018 09:39

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#11 30. 10. 2018 10:04 — Editoval Al1 (30. 10. 2018 11:38)

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#12 30. 10. 2018 11:00 — Editoval misaH (30. 10. 2018 11:08)

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#13 30. 10. 2018 16:26

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#14 30. 10. 2018 17:49 — Editoval misaH (30. 10. 2018 18:43)

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#15 30. 10. 2018 18:07 — Editoval misaH (30. 10. 2018 18:40)

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#16 30. 10. 2018 18:11

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#17 30. 10. 2018 18:27 — Editoval misaH (30. 10. 2018 18:32)

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#18 30. 10. 2018 18:38

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#19 30. 10. 2018 18:39

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#20 31. 10. 2018 19:24

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#21 31. 10. 2018 19:36 — Editoval misaH (01. 11. 2018 07:03)

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#22 04. 11. 2018 08:59

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#23 04. 11. 2018 11:28 — Editoval misaH (04. 11. 2018 11:30)

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#24 04. 11. 2018 11:32

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

#25 04. 11. 2018 13:40

Re: Těžnice trojúhelníku svírající pravý úhel

Zápatí