Matematické Fórum

Bac8 · 01. 11. 2018 08:17

Ahoj :) Potřeboval bych poradit s výpočtem inverzních funkcí. U prvních dvou příkladů jsem se úplně zasekl a nevím jak dál a u druhých dvou příkladů zase nevím jestli jsem to vymyslel dobře. Poradil by mě někdo ?

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-11/56525_1.jpg

gadgetka

Ahoj, musíš z celé funkce vyjádřit neznámou x a v závěru prohodíš neznámé (nebo je prohodíš hned a budeš vyjadřovat y).
K té první funkci (úprava se týká obou stran)

1) odečíst $\frac{\pi}{3}$

a dostaneš:
$y-\frac{\pi}{3}=\text{arcsin}\sqrt{\frac{3x}{2}+2}$
odtud pak:

$\sin{$y-\frac{\pi}{3}$}=\sqrt{\frac{3x}{2}+2}$

4) umocnit na druhou
5) násobit dvěma
6) odečíst 4
7) vydělit třemi

a dostaneš (po záměně neznámých):
$y=\frac{2$\sin({x-\frac{\pi}{3})}$^2-4}{3}$

Al1 · 01. 11. 2018 09:57 — Editoval Al1 (01. 11. 2018 09:58)

↑ Bac8:

Zdravím,

zatím jen k 1.příkladu: def.obor máš sice určen správně, ale z chybných výpočtů. Podívej se znovu na řešení podmínky

$-1\le \sqrt{\frac{3}{2}x+2}$ . není náhodnou toto splněno pro všechna x vyhovující podmínce pro odmocninu?

Navíc, pokud by to vyšlo, že $x\ge -\frac{2}{3}\wedge x\le -\frac{2}{3}$ , pak by platilo pouze pro $x= -\frac{2}{3}$

krakonoš

U prikladu T13 je opet chyba,ze odmocnina je vetsi nez -1 vzdy.Dobre je si u zadane fce urcit jak def obor,tak i obor hodnot a uvedomit si jejich vztah k inver funkci. U inverzni funkce mas opisovou chybu. Misto pi/4 mas pi/2.
Obecna rada. U vsech prikladu rovnou urci u zadane fce jak def obor,tak obor hodnot.,Pak teprve prejdi k inverzni funkci.Pri urcovani oboru hodnot vyuzivej monotonie cyklometrickych funkci.

Bac8 · 01. 11. 2018 11:02

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-11/65715_IMG_20181101_104520.jpg

Jakmile se do podmínek zapojí arccos, arcsin a podobně tak jsem z toho zmatený. Dle výše uvedeného textu jsem vycházel z toho, že jakmile mám například

$arcsin\sqrt{(3x/2)+2}$

tak podmínka bude za a) x je větší nebo rovno -4/3 (část pod odmocninou)

a za b) $-1\le \sqrt{(3/2)+2}\le 1$

protože funkce arcsin je definována na intervalu $\langle-1;1\rangle$ .

Ve výpočtu T23 jsem to popletl, respektive jsem špatně spojil podmínky, takže mi naprostou náhodou vyšel správný definiční obor.

Podmínka b) se tedy dosazuje jinak než do intervalu $\langle-1;1\rangle$ tak jak jsem to udělal já ? Pokud ano, tak proč ? Vycházel jsem z toho, že jakmile mám například výše zmíněný arcsin, tak je natvrdo určený interval od -1 do 1

misaH · 01. 11. 2018 11:02 — Editoval misaH (01. 11. 2018 11:03)

↑ Bac8:

Ahoj.

Technická: podľa pravidiel každá úloha patrí do vladtnej témy.

Takto sa ti ľahko stane, že dostaneš vysvetlenie jednej úlohy a zvyšných troch nie, lebo tie ďalšie si nikto nevšimne.

misaH · 01. 11. 2018 11:13 — Editoval misaH (01. 11. 2018 11:15)

↑ Bac8:

Tá podmienka pre arcsin je (myslím) správne, čo je nesprávne je to, že počítaš niečo, čo počítať netreba.

Druhá odmocnina je totiž podľa definície od záporného čísla väčšia v ž d y, ak x vyberáš z definičného oboru odmocniny.

Bac8 · 01. 11. 2018 12:38

Pardon, nechtěl jsem zaspamovat celé forum jedním tématem. Takže když to vztáhnu na arcsin, tak bych správně zapsal jako

$-1\le \sqrt{3/2+2}$

čili to takhle dám vždycky jakmile arcsin bude pod odmocnou, pokud to chápu správně, tak bych to stejně aplikoval i na arcos pod odmocninou.

Naopak jakmile bych měl například

$arcsin (3x+5)$

tak bych podmínku napsal

$-1\le (3x+5)\le 1$

Napsal jsem to správně ?

Al1 · 01. 11. 2018 17:25 — Editoval Al1 (01. 11. 2018 17:26)

↑ Bac8:
Arcsin přece nemáš pod odmocninou. V 1.příkladu máš správně podmínky $-1\le \sqrt{(3x/2)+2}\le 1\wedge \frac{3}{2}x+2\ge 0$ , ale část těch podmínek řešíš chybně, konkrétně $-1\le \sqrt{\frac{3}{2}x+2}$ . Toto platí pro všechna x, pro které je definována odmocnina. Takže pro $x\in \Big\langle-\frac{4}{3}, \infty \Big)$ . Z podmínky $1\ge \sqrt{\frac{3}{2}x+2}$ pak získáme $x\in \Big(-\infty, -\frac{2}{3}\Big\rangle$ . Na závěr stanovíš prùnik obou množin.

Bac8 · 02. 11. 2018 08:27

Popravdě ať to řeším jakkoliv, tak mi vždycky z $-1\le \sqrt{\frac{3}{2}x+2}$ vyjde $-2/3\le x$

počítal jsem to následovně

$-1\le \sqrt{\frac{3}{2}x+2}$ /to celé na druhou

$1\le (3x/2)+2$ / mínus dva

$-1\le 3x/2$ / krát 2

$-2\le 3x$ / lomeno třemi

$-2/3\le x$

Al1 · 02. 11. 2018 08:47 — Editoval Al1 (02. 11. 2018 09:20)

↑ Bac8:

Ne! Tvé úpravy jsou chybné. Umocňovat můžeš jedině tehdy, když jsou obě strany nerovnice nezáporné. Ty máš nerovnici $\sqrt{\frac{3}{2}x+2}\ge -1$ . Na levé straně máš číslo nezáporné, na pravé straně číslo záporné. Nezáporné je vždy větší než záporné. Tvoje nerovnice má nekonečně mnoho řešení. A protože je nutné také definovat odmocninu, ze všech možných řešení vybereš ta, která splňují podmínku $\frac{3}{2}x+2\ge 0$ .
Řešením nerovnice $\sqrt{\frac{3}{2}x+2}\ge -1$ jsou čísla z intervalu $\Big\langle-\frac{4}{3}, \infty \Big)$ .Zkus

Tvé řešení $-2/3\le x$ by tak nesplňovalo třeba číslo -1, pro které je nerovnost platná.

misaH · 02. 11. 2018 08:48 — Editoval misaH (02. 11. 2018 10:16)

↑ Bac8:

Ahoj.

Naozaj nerozumieš, že na pravej strane je kladné číslo?

(Veď je to druhá odmocnina.)

To je v ž d y väčšia než záporné číslo...

Veď si dosaď za x trebárs číslo -1, ktoré je menšie ako -2/3 a uvidíš, že dotyčná odmocnina existuje.

misaH · 02. 11. 2018 10:17

↑ Al1:

:-)

Písala som dlho kráčajúc v lese, nechám...

Matematické Fórum

#1 01. 11. 2018 08:17

Inverzní funkce

#2 01. 11. 2018 09:53 — Editoval gadgetka (01. 11. 2018 10:00)

Re: Inverzní funkce

#3 01. 11. 2018 09:57 — Editoval Al1 (01. 11. 2018 09:58)

Re: Inverzní funkce

#4 01. 11. 2018 10:06 — Editoval krakonoš (01. 11. 2018 10:38)

Re: Inverzní funkce

#5 01. 11. 2018 11:02

Re: Inverzní funkce

#6 01. 11. 2018 11:02 — Editoval misaH (01. 11. 2018 11:03)

Re: Inverzní funkce

#7 01. 11. 2018 11:13 — Editoval misaH (01. 11. 2018 11:15)

Re: Inverzní funkce

#8 01. 11. 2018 12:38

Re: Inverzní funkce

#9 01. 11. 2018 17:25 — Editoval Al1 (01. 11. 2018 17:26)

Re: Inverzní funkce

#10 02. 11. 2018 08:27

Re: Inverzní funkce

#11 02. 11. 2018 08:47 — Editoval Al1 (02. 11. 2018 09:20)

Re: Inverzní funkce

#12 02. 11. 2018 08:48 — Editoval misaH (02. 11. 2018 10:16)

Re: Inverzní funkce

#13 02. 11. 2018 10:17

Re: Inverzní funkce

Zápatí