Matematické Fórum

Pojak · 04. 11. 2018 22:41 — Editoval Pojak (04. 11. 2018 23:02)

Zdravím, měl bych jednu otázku ohledně rozkladu polynomu pátého stupně na kořeny,

tady je příklad : https://ctrlv.cz/Lo6M

1. kořen mi vyšel x=-1
2. kořen mi vyšel x=3

ale mám problém u třetího kořene , který mi vyšel -1 teda úplně stejně jako 1. kořen a nevím jestli to tak může být nebo ne , protože mi ten kořen vyšel 2x stejně , nebo to nevadí

no a poté mi zbyla kvadratická rovnice ale determinant mi vyšel 0 , takže z toho dostanu jen jeden kořen a nevím jak mám sehnat ten druhý

Děkuji za rady.

laszky · 04. 11. 2018 23:05 — Editoval laszky (04. 11. 2018 23:36)

↑ Pojak:

Ahoj, rovnice muzou mit i jeden vicenasobny koren, jako treba rovnice

$x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3=0$

Zadny jiny koren nesezenes ;-)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Aspro1 · 04. 11. 2018 23:15

Může to tak klidně být. Kořen polynomu může být i vícenásobný. Když má kvadratická rovnice nulový determinant, jedná se o rovnici typu $(x - x_0)^2 = 0$ a tato rovnice má jeden dvojnásobný kořen $x_0$ .

Neznáš definici násobnosti kořenu polynomu? Pro $k \in \mathbb{N}$ říkáme, že číslo $x_0$ je $k$ -násobným kořenem polynomu $P$ , právě když existuje polynom $Q$ takový, že $(\forall x)( P(x) = (x - x_0)^k \cdot Q(x) ) \wedge Q(x_0) \ne 0$ (čili kořenový činitel $x - x_0$ se dá z polynomu $P$ $k$ -krát vytknout a vícekrát už ne).

Pojak · 05. 11. 2018 00:08

Dobře děkuji :)

Takže výsledek mám tedy správně ?

(x+1)*(x-3)*(x+1)*(x+1)*(x+1)

Pojak · 05. 11. 2018 00:52

Jo a ještě sem narazil na jeden problém , když mám příklad
$x^{5}-4x^{4}+x^{3}-4x^{2}$

tak jak mám začít , když mám ao=0? Nevím jak z toho mám určit ten první možný kořen. Děkuji

Pritt · 05. 11. 2018 00:59

↑ Pojak:

Zkus něco vytknout.

Pojak · 05. 11. 2018 01:20 — Editoval Pojak (05. 11. 2018 01:21)

↑ Pritt: Jo to mě taky napadlo ,že bych vytkl x2 a měl bych tam ao , ale nějak se mi to nezdá to jak mi to vyšlo
$x^{2} * (x^{3}-4x^{2} +x-4)$
a z té x2 před závorkou vychází nulovej kořen 0

a z té závorky mi vyšel první kořen 4

a zbylo mi tam $x^{2} *+1$
což sem vyřešil přes komplexní čísla a vyšlo mi (x-i) a x(+i)

takže mi ten rozklad vyšel

0* (x-i)*(x+i) * (x-4)

takže to pokaždé vyjde 0

Aspro1 · 05. 11. 2018 05:56

↑ Pojak:Na začátku jsi vytkl $x^2$ , to v tom rozkladu musí zůstat, nemůže z toho být nula. Ta nula, která je dvojnásobným kořenem, se v tom rozkladu objeví tak, že si představíme $x^2$ jako $(x - 0)^2$ .

misaH · 05. 11. 2018 06:37 — Editoval misaH (05. 11. 2018 06:40)

$x^{5}-4x^{4}+x^{3}-4x^{2}$

$x^4(x-4)+x^2(x-4)=(x-4)x^2(x^2+1)$

Korene: 0 alebo 4 alebo +i alebo -i.

a l e b o, nie a s ú č a s n e

Aspro1 · 05. 11. 2018 09:10

↑ misaH: To je otázka. Klidně můžeme říct „a současně“, protože všechny tyto hodnoty současně jsou prvky množiny všech kořenů polynomu. Spojku „nebo“ bych použil spíš při řešení rovnice, ale i tam jsou všechna řešení současně prvky množiny všech řešení, takže i spojka „a“ má význam.

Pojak · 05. 11. 2018 12:26

Aha, děkuji. Takže výsledek je
$(x-0)^{2}*(x-4)*(x-i)*(x+i)$ (v komplexních číslech)
a $(x-0)^{2}*(x-4)*(x^{2}+1)$ (v reálných číslech) ?

Aspro1 · 05. 11. 2018 12:44

↑ Pojak:Ano, takhle vypadá rozklad na kořenové činitele v komplexním a v reálném oboru. Bylo by ještě dobré zjednodušit tu první závorku na $x^2$ .

Lunixis · 05. 11. 2018 12:52

Dobře děkuji za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 04. 11. 2018 22:41 — Editoval Pojak (04. 11. 2018 23:02)

Určení kořenů polynomu

#2 04. 11. 2018 23:05 — Editoval laszky (04. 11. 2018 23:36)

Re: Určení kořenů polynomu

#3 04. 11. 2018 23:15

Re: Určení kořenů polynomu

#4 05. 11. 2018 00:08

Re: Určení kořenů polynomu

#5 05. 11. 2018 00:52

Re: Určení kořenů polynomu

#6 05. 11. 2018 00:59

Re: Určení kořenů polynomu

#7 05. 11. 2018 01:20 — Editoval Pojak (05. 11. 2018 01:21)

Re: Určení kořenů polynomu

#8 05. 11. 2018 05:56

Re: Určení kořenů polynomu

#9 05. 11. 2018 06:37 — Editoval misaH (05. 11. 2018 06:40)

Re: Určení kořenů polynomu

#10 05. 11. 2018 09:10

Re: Určení kořenů polynomu

#11 05. 11. 2018 12:26

Re: Určení kořenů polynomu

#12 05. 11. 2018 12:44

Re: Určení kořenů polynomu

#13 05. 11. 2018 12:52

Re: Určení kořenů polynomu

Zápatí