Matematické Fórum

alfix · 05. 11. 2018 12:02 — Editoval alfix (05. 11. 2018 12:51)

Dobrý den,
pokud mám zadání: vyjádřete vztah pro povrch pravidelného šestibokého jehlanu s podstavou vepsanou do kružnice s poloměrem r a výškou v.

Vyšlo mi:

S = (tg(30)*v*v/2*12) + (v * r / 2 * 6)

Vycházím z toho, že:
- podstava (tg(30)*r*r/2*12) je 12 trojúhelníků, kdy jedna strana trojúhelníku má stranu stejnou jako poloměr r, dále znám úhel 30° (360°/12=30°), takže pomocí tg zjistím druhou stranu a jelikož je trojúhelnik pravoúhlý, mohu použít vzorec pro obdélkík a poté výsledek vydělit dvěma (a vynásobit 12, protože trojúhelníků je 12)

- plášť (v * r / 2 * 6) může být obdélník, kde vypočítám obsah vzorcem a * b, vydělím dvěma (= trojúhelník) a poté vynásobím šesti (počet boků)

Prosím o radu, jestli jde o správný postup.

laszky · 05. 11. 2018 12:28

↑ alfix:

Omlouvam se, ze neporadim, ale takhle nejak si predstavuju matematicky dadaismus :-)

Ferdish

↑ alfix:
To ani zďaleka.

Po prvé: podstava pravidelného šesťbokého ihlanu je tvorená pravidelným šesťuholníkom.

Je vôbec možné rozdeliť pravidelný šesťuholník na desať zhodných trojuholníkov?

alfix · 05. 11. 2018 12:52

Díky a omlouvám se, opravil jsem zadání. Má to být 12 shodných trojúhelníků, tedy úhel 30°.

Ferdish

↑ alfix:
Tak to by sme mali, môžeme pokračovať ďalej. Teraz správne vyjadri obsah pravouhlého trojuholníka, ktorý máš vyznačený na obrázku.

A snaž sa prosím zachovať označenie prvkov a dĺžok v príklade. Je mi jedno či použiješ značenie z prvého príspevku alebo z obrázku, ale používaj iba jedno z toho.

alfix · 05. 11. 2018 13:33

Takže obsah celé podstavy by měl být S * 12?

Ferdish

Čítaš vôbec to, čo ti píšem? Znova si použil iné značenie - a tentokrát pre zmenu úplne nové!!!

S tvojim súhlasom navrhujem odteraz používať nasledovné značenie:
$a$ - kratšia odvesna v pravouhlom trojuholníku
$r$ - dlhšia odvesna v pravouhlom trojuholníku, súčasne VÝŠKA na stranu $a$ v pravouhlom trojuholníku
$r_0$ - polomer kružnice opísanej podstave nášho ihlana, súčasne PREPONA v pravouhlom trojuholníku
$v$ - výška ihlana

Čo sa týka výpočtu - potrebuješ si vyjadriť $r$ , lebo túto hodnotu nepoznáš. Ty si si však vyjadril $a$ , ktoré sa dá vyjadriť omnoho jednoduchšie cez polomer.
A tg 30° je tabuľková hodnota, takže ju môžeš rovno dosadiť do vzorca. Osobne by som však miesto tangensu uprednostnil inú goniometrickú funkciu...

misaH · 05. 11. 2018 14:04

↑ Ferdish:

Obávam sa, že nemôžeš odvesnu označiť r, keď je to podľa zadania polomer kružnice opísanej podstave.

Zadávateľ si proste situáciu nevie predstaviť, zrejme ani nepozná vlastnosti pravidelného šesťuholníka.

Ferdish

↑ misaH:
Pokiaľ sa k tomu sám nevyjadrí, nechcem robiť žiadne unáhlené závery.

Pre mňa za mňa nech si to značí ako chce. Beztak zostanú vo výslednom vzťahu len dva parametre - polomer kružnice a výška ihlana.

Nech však značenie ostane pevné a nemenné od začiatku až do vyriešenia príkladu. Inak z toho vzniká chaos, ako môžeš vidieť...

alfix · 05. 11. 2018 14:24

Omlouvám se, ale ani z jednoho zadání nebylo patrné, jak označit stranu a, tak jsem udělal nový nákres. Ostatní jsem neměnil.. respektive mohl jsem v nejnovějším náčrtku označit a jako a/2 a pak by to korespondovalo, to je fakt.
Nechme tedy tvoje značení, které odpovídá i poslednímu náčrtku akorát s rozdílem, že r0 je přepona (že je to poloměr kružnice opsané nemusíme řešit, ten poloměr neznáme a myslím, že ani nepotřebujeme) a r je kromě delší odvěsny také poloměr vepsané kružnie.

mishaH: r je ale podle zadání poloměr kružnice VEPSANÉ podstavy, takže r by opravdu měla být delší odvěsna.

r tedy ze zadání podle mě znám, protože je to poloměr kružnice vepsané a tím pádem by měl být minimálně výpočet ze příspěvku #6 správně. Opravte mě prosím, pokud se pletu.

Ferdish

↑ alfix:
Polomer a ani výšku ihlana síce nemáš zadané konkrétne, ale vystupujú v úlohe ako parametre.

To znamená, že keď nakoniec dospeješ k výslednému vzorcu pre povrch ihlana, tak v tom vzorci budú jedinými neznámymi práve tieto dva parametre - všetky ostatné (neznáme) prvky vo vzorci budú vyjadrené práve cez ne.

Ad opísaná/vpísaná kružnica - tak tento omyl som si všimol až teraz, ospravedlňujem sa. Avšak prečo je potom v nákrese zaznačená aj kružnica OPÍSANÁ podstave??? Zbytočný zavádzajúci krok, ktorý spôsobil viac škody než úžitku...

Takže, aby teraz už NAOZAJ nedochádzalo k omylom a zmätkom navrhujem urobiť nový náčrt s podstavou a kružnicou nemu VPÍSANOU a riadne a napevno zaznačiť všetky dĺžky a prvky, ktoré budeme k výpočtu obsahu podstavy potrebovať.

misaH · 05. 11. 2018 14:48

↑ Ferdish:

Citát zo zadania:

s podstavou vepsanou do kružnice s poloměrem r

to znamená, že r je polomer o p í s a n e j kružnice.

A prečo sú dva polomery? Lebo zadávateľ našiel taký obrázok na internete.

...

Ferdish · 05. 11. 2018 14:57

↑ misaH:
Boha jeho, to je bordel, na toto fakt nemám nervy. A ako jednoducho ten príklad vyzeral...

Ak chceš, rád ti tento príklad kompletne prenechám. Mám totiž aj iné veci na práci, než tu veštiť z jasnovideckej gule resp. zo zadávateľovej hlavy správnosť/nesprávnosť zadania príkladu.

misaH · 05. 11. 2018 15:22

↑ alfix:

Čakajú ťa 2 úlohy, lebo povrch toho ihlana sa skladá z pravidelného 6-uholníka a šiestich bočných rovnoramenných trojuholníkov.

Ty máš vyrátať ten povrch, keď poznáš polomer kružnice šesťuholníku opísanej a výšku toho ihlana.

Na to potrebuješ vedieť vyrátať

1. obsah toho 6-uholníka

2. obsah tých šiestich bočných 3-uholníkov

misaH · 05. 11. 2018 15:28

Šesťuholník:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-11/27789_20181105_151718.jpg

Základná vec:

Pravidelný 6-uholník sa skladá zo 6 rovnostranných trojuholníkov (vieš prečo) ?

Takže dĺžka AJ sa rovná polovica r, pričom r je dĺžka AB, rovnako aj dĺžka AH aj dĺžka BH.

Na výpočet obsahu trojuholníka potrebuješ poznať dĺžku JH.

Je na tebe, či zvolíš goniometriu alebo Pytagorovu vetu.

Cheop · 05. 11. 2018 20:23

↑ misaH:
Na obsah trojúhelníku není potřeba vzdálenost JH,
stačí znát délku strany tady snad r.

misaH · 05. 11. 2018 20:32 — Editoval misaH (05. 11. 2018 20:34)

↑ Cheop:

No - keď sa vieš nabifliť "vzorce"...

Na ZŠ sa v tomto prípade znalosť "vzorca" neočakáva, aspoň tu u nás, pokiaľ viem. Tu sa už na ZŠ neučí ani základná goniometria (a ani značná časť algebry - rozklady na súčin, lomené výrazy, sústavy rovníc...).

Ale je mi to jedno, nech si každý robí, čo uzná za vhodné...

alfix · 05. 11. 2018 22:47 — Editoval alfix (06. 11. 2018 19:08)

Díky za postrčení. To, že těch 6 trojúhelníků v podstavě je rovnostranných mi nedošlo. Teď podle tvých rad chápu, že r (z prvního zadání) je jedna strana trojúhelníku a stačí tedy dopočítat výšku, abych použil vzorec S = a * Va / 2.

Takže:

JH = sqrt(r^2 - (r/2)^2)

tedy S podstavy by mělo být:

S = 6 * (r * sqrt(r^2 - (r/2)^2) / 2)

gadgetka · 06. 11. 2018 02:12

Zdravím, můžeš si vzorec usnadnit:
obsah trojúhelníku obecně je
$S=\frac{z\cdot v}{2}$

a ty těch trojúhelníků máš 6:

$S=6\cdot \frac{z\cdot v}{2}=3\cdot z\cdot v$

Po dosazení:
$S=3\cdot r\cdot \sqrt{r^2-$\frac{r}{2}$^2}$

P. S. V tvém vzorci jsi místo "umocnítka" ^ použil zřejmě omylem *. A nikoli S podstavy, ale tys napsal jen vzorec pro obsah jednoho trojúhelníku z podstavy. :)

alfix · 06. 11. 2018 12:27 — Editoval alfix (06. 11. 2018 12:54)

gadgetka: Ahoj, moc děkuji, upravil jsem si to.

misaH napsal(a):
↑ Ferdish:

Citát zo zadania:

s podstavou vepsanou do kružnice s poloměrem r
to znamená, že r je polomer o p í s a n e j kružnice.

...

Díky, až teď mi došlo, jak je to myšlené. Já kružnici považoval za vepsanou a on je do ni vepsaná ta podstava.. pak už mi to dává smysl.

Zbývá tedy dopočítat S plášťě - 6 trojúhelníků, kde známe délku jedné strany (= r) a její výšku (v), takže by měl fungovat vzorec:
Spl = 6 * ((r * v) / 2)

Říkám to správně?

Ferdish · 06. 11. 2018 13:03

↑ alfix:
Pozor - výška ihlana sa nerovná výške trojuholníka v plášti! Tú budeš musieť vypočítať.

alfix · 06. 11. 2018 13:19 — Editoval alfix (06. 11. 2018 13:20)

To mi vůbec nedošlo. Těžko se mi představuje vztah té opsané kružnice k jednotlivým trojúhelníkům v plášti, ale řekl bych, že spodní strana těch šesti trojúhelníků bude rovna hodnotě r, takže si představím trojúhelník, který má spodní stranu r/2, kolmou ke straně o délce, která je rovno výšce jehlanu a tak si dopočítám výšku trojúhelníků v plášti:
sqrt((r/2)^2 + v^2)

Obsah jednoho trojúhelníku v jehlanu tedy:
S = ((r * sqrt((r/2)^2 + v^2)) / 2)

Spl = 6 * ((r * sqrt((r/2)^2 + v^2)) / 2)

Ferdish

↑ alfix:
Opakujem - výška ihlanu sa nerovná výške "plášťového" trojuholníka.

Hľadaná výška je preponou v pravouhlom trojuholníku, ktorého kratšiu odvesnu tvorí výška nám už známeho "podstavového" rovnostranného trojuholníka, a dlhšiu odvesnu tvorí výška ihlanu.

Ak by si si to zakreslil do 3D náčrtu tvojho ihlanu, tak by ti to pravdepodobne začalo dávať zmysel...

alfix · 06. 11. 2018 20:54 — Editoval alfix (06. 11. 2018 20:55)

Díky za další nápovědu. Pokud tě chápu správně, tak počítáme toto:

? = sqrt((r/2)^2 + v^2)

Ale není mi jasné, jak mi tohle číslo pomůže k výpočtu povrchu pláště jehlanu.

Původně jsem totiž zamýšlel počítat s těmito hodnotami (ta spodní hrana by měla mít délku jako r ze zadání):

Moc děkuji za trpělivost. :(

misaH · 06. 11. 2018 21:01

↑ alfix:

Vieš čo - nechápeš správne.

Možno by si mohol sústrediť svoju pozornosť na vystrihnutie toho ihlana z papiera.

A až potom riešiť...

Matematické Fórum

#1 05. 11. 2018 12:02 — Editoval alfix (05. 11. 2018 12:51)

Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#2 05. 11. 2018 12:28

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#3 05. 11. 2018 12:40 — Editoval Ferdish (05. 11. 2018 12:42)

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#4 05. 11. 2018 12:52

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#5 05. 11. 2018 13:19 — Editoval Ferdish (05. 11. 2018 13:21)

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#6 05. 11. 2018 13:33

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#7 05. 11. 2018 13:44 — Editoval Ferdish (05. 11. 2018 13:54)

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#8 05. 11. 2018 14:04

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#9 05. 11. 2018 14:13 — Editoval Ferdish (05. 11. 2018 14:15)

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#10 05. 11. 2018 14:24

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#11 05. 11. 2018 14:43 — Editoval Ferdish (05. 11. 2018 14:43)

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#12 05. 11. 2018 14:48

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#13 05. 11. 2018 14:57

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#14 05. 11. 2018 15:22

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#15 05. 11. 2018 15:28

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#16 05. 11. 2018 20:23

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#17 05. 11. 2018 20:32 — Editoval misaH (05. 11. 2018 20:34)

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#18 05. 11. 2018 22:47 — Editoval alfix (06. 11. 2018 19:08)

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#19 06. 11. 2018 02:12

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#20 06. 11. 2018 12:27 — Editoval alfix (06. 11. 2018 12:54)

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

misaH napsal(a):

#21 06. 11. 2018 13:03

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#22 06. 11. 2018 13:19 — Editoval alfix (06. 11. 2018 13:20)

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#23 06. 11. 2018 16:58 — Editoval Ferdish (06. 11. 2018 17:00)

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#24 06. 11. 2018 20:54 — Editoval alfix (06. 11. 2018 20:55)

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

#25 06. 11. 2018 21:01

Re: Povrch šestibokého jehlanu - odvození vzorce

Zápatí