Matematické Fórum

John Yossarian · 13. 11. 2018 22:43

Zdravím,

mohl by mi někdo prosím vysvětlit proč je $\lim_{n\to\infty }n*\ln ({\frac{n+1}{n}})=1$

pokoušel jsem se o přepsání pomocí vzorců na $n*[\ln(n+1)-ln(n)]$ ...

děkuji

Stýv · 13. 11. 2018 22:48

Doporučuju převést pár jednoduchými úpravami na známou limitu $\lim_{n\to\infty }({\frac{n+1}{n}})^n$ .

byk7 · 13. 11. 2018 22:49

$\lim_{n\to\infty}$1+\frac1n$^n=e$ nepomůže?

John Yossarian · 13. 11. 2018 23:17

↑ byk7: Vzorec mě napadl, akorát nevím jak se zbavit logaritmu. (Nebo se dá vzorec použít v logaritmu?...či použití $a^{b}=e^{b\ln a}$ ??).

jarrro · 14. 11. 2018 00:10

$n\ln{$\frac{n+1}{n}$}=\ln{$\(1+\frac{1}{n}$^n\)}\nl $\forall a_n$$\lim_{n\to\infty}{\(\ln{\(a_n$}\)}=\ln{$\lim_{n\to\infty}{\(a_n$}\)}\)$

John Yossarian · 14. 11. 2018 00:16

↑ jarrro: Díky moc! To jsem přesně potřeboval.

Aspro1 · 14. 11. 2018 06:03 — Editoval Aspro1 (14. 11. 2018 10:20)

↑ jarrro: $(\forall a_n)$ znamená: pro každou posloupnost $(a_n)$ takovou, že $(\forall n \in \mathbb{N}) (a_n > 0) \wedge 0 < \lim_{n \to +\infty} a_n < +\infty)$ (aby ten zápis rovnosti mezi limitou logaritmu a logaritmem limity dával smysl)

jarrro · 14. 11. 2018 15:15

↑ Aspro1:ahoj myslím, že ak jeden výraz nedáva zmysel/neexistuje tak to platí aj o druhom a naopak.
Alebo môže jeden existovať a druhý nie?

Aspro1 · 14. 11. 2018 15:27 — Editoval Aspro1 (14. 11. 2018 15:31)

↑ jarrro: Například $a_n = \frac{1}{n}$ , takže $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$ .

$\lim_{n \to +\infty} \text{ln } a_n = -\infty$ … OK
$\text{ln } \lim_{n \to +\infty} a_n = \text{ln } 0$ … nedává smysl

Proto jsem přidal tu podmínku, která zajistí, že má smysl logaritmus každého členu posloupnosti a že má smysl i logaritmus limity té posloupnosti.

John Yossarian · 14. 11. 2018 20:43

↑ Aspro1: Zdravím, při počítání dalších příkladů jsem narazil na něco podobného.

Nešlo by taky ke zdůvodnění použít něco jako větu o limitě složené funkce pro posloupnosti (třeba přes heineho)? ...asi je to složitější, než uvedený způsob, ale jde o větu, kterou máme dokázanou zpřednášky.

jarrro · 15. 11. 2018 17:16 — Editoval jarrro (15. 11. 2018 17:18)

↑ Aspro1:jaj.
Ja som automatcky uvažoval nad konvenciou
$\ln{$0$}:=-\infty\nl \ln{$+\infty$}:=+\infty\nl \lim_{n\to\infty}{$\pm{\infty}$}:=\pm\infty$

Aspro1 · 16. 11. 2018 06:18

↑ John Yossarian:Asi by to šlo, využili bychom této limity:

$\lim_{x \to 0} \frac{\text{ln } (1 + x)}{x} = 1$

Použili bychom Heineovu větu s funkcí $f(x) = \frac{\text{ln } (1 + x)}{x}$ a posloupností $a_n = \frac{1}{n}$ .

Matematické Fórum

#1 13. 11. 2018 22:43

Limita posloupnosti n*ln((n+1)/n)

#2 13. 11. 2018 22:48

Re: Limita posloupnosti n*ln((n+1)/n)

#3 13. 11. 2018 22:49

Re: Limita posloupnosti n*ln((n+1)/n)

#4 13. 11. 2018 23:17

Re: Limita posloupnosti n*ln((n+1)/n)

#5 14. 11. 2018 00:10

Re: Limita posloupnosti n*ln((n+1)/n)

#6 14. 11. 2018 00:16

Re: Limita posloupnosti n*ln((n+1)/n)

#7 14. 11. 2018 06:03 — Editoval Aspro1 (14. 11. 2018 10:20)

Re: Limita posloupnosti n*ln((n+1)/n)

#8 14. 11. 2018 15:15

Re: Limita posloupnosti n*ln((n+1)/n)

#9 14. 11. 2018 15:27 — Editoval Aspro1 (14. 11. 2018 15:31)

Re: Limita posloupnosti n*ln((n+1)/n)

#10 14. 11. 2018 20:43

Re: Limita posloupnosti n*ln((n+1)/n)

#11 15. 11. 2018 17:16 — Editoval jarrro (15. 11. 2018 17:18)

Re: Limita posloupnosti n*ln((n+1)/n)

#12 16. 11. 2018 06:18

Re: Limita posloupnosti n*ln((n+1)/n)

Zápatí