Matematické Fórum

Peroplesk · 18. 11. 2018 21:33

Mám následující příklad, který je prý ukázkou přímočarého důkazu matematickou indukcí.

Věta: Pro všechna přirozená $n\geq0$ platí

$\sum\limits_{i=0}^n 3(i+1)(i+6) ~=~ p(n) \>:=~ n^3+12n^2+29n+$ (vyplnit)

Správná odpověď: $18$

Důkaz: Dokážeme uvedené tvrzení $\sum\limits_{i=0}^n 3(i+1)(i+6)=p(n)$ matematickou indukcí podle $n$ .

Báze indukce: Snadno ověříme, že pro $n=0$ platí

$\sum\limits_{i=0}^0 3(i+1)(i+6) = 3(0+1)(0+6) = p(0)$

Indukční krok: Předpokládejme nyní platnost dokazovaného tvrzení pro n:=k, kde k je libovolně zvolené přirozené číslo. Pro následníka n:=k+1 upravíme náš výraz takto
$\sum\limits_{i=0}^{k+1}3(i+1)(i+6) =$ (vyplnit) $+ \sum\limits_{i=0}^{k}3(i+1)(i+6)$

Správná odpověď: $3k^2+27k+42$

Dále podle indukčního předpokladu můžeme dosadit $\sum\limits_{i=0}^{k}3(i+1)(i+6)=p(k)$ a pokračovat tak v úpravách následujícím způsobem

$\sum\limits_{i=0}^{k+1} 3(i+1)(i+6) =$ [předchozí doplněný výraz] $+ p(k) =$ vyplnit $= p(k+1)$

Správná odpověď: $1k^3+15k^2+56k+60$

Jelikož jsme z předpokladu platnosti našeho tvrzení pro kterékoliv k odvodili jeho platnost pro k+1, je důkaz matematickou indukcí hotov.
$\square$

Já se však zasekl hned na začátku. Netuším totiž, jak zjistit to číslo 18. Ví někdo, jak na to? Ani strýček Google mi nepomohl, protože nevím, jak to hledat.