Matematické Fórum

maroslav4

Dobrý den,

potřeboval bych trochu poradit s výpočtem bodu v rovině. Mám usečku která má souřadnice v kartézkém souřadném systému X1,Y1 X2, Y2 které již mám dopočtené, ale potřeboval bych dopočítat její posunutí a rotaci v rovině.

Snad to bude z obrázku pochopitelné. V podstatě potřebuji dopočítat bod 4. Uhel alpha znám také.

Mockrát Vám děkuji.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-11/82928_posun%2Ba%2Brotace.png

Rumburak

↑ maroslav4:
Zdravím .

Chápu to tak, že je zadána nějaká úsečka (nejspíše svými krajními body) a s touto úsečkou
(tj. s jejími krajními body) mají být provedeny jakési geometrické oprece. Píšeš něco o posunutí
a rotaci, avšak není jasné, zda má jít o dvě navzájem nezávislé operace pokaždé s původní
úsečkou nebo zda jde o návaznost těchto operací (např. když danou úsečku posunume
a úsečku, která tímto vznikne, otočíme). Z obrázku nic jasné není, správně úlohu zadat je na
Tobě. :-)

K vyřešení úlohy je zapotřebí vědět, jak operace posunutí a rotace fungují.

Posunutí f je dáno vektorem posunutí , při čemž tento vektor a body X, f(X) splňují jakýsi vztah.

Rotace g je dána středem rotace a úhlem rotace, při čemž střed rotace, úhel rotace
a body X, g(X) splňují jakýsi vztah.

Co z toho je Ti nejasné ?

maroslav4 · 22. 11. 2018 12:30

↑ Rumburak:

Ok, sorry za špatné zadání :) .

Programuji si takovou aplikaci na výpočet drah nástroje pro CNC. Usečka která je definována body point1 a point2 je dopočítávána z nějakých parametrů která zadávám. Co se týče té geometrie kterou chci dopočítat. Je bod rotace vždy point3, ten bude mít vždy shodnout Y souřadnici jako point1. Hodnota posunutí point3 v ose X bude dynamická, ale vždy jedním směrem (X-) paralelně s osou Y. Úhel toho otočení (\alpha ) bude vždy ve směru hodinových ručiček vždy v rozsahu cc 1-10st. Bod point4 bude mít zase v kartézkém souřadném systému hodnotu Y0, tzn mám tam jednu neznámou a to je hodnota X v point4.

Je to srozumitelnější? Nebo jsem to ještě víc zamotal ? :)

Rumburak

↑ maroslav4:

To už je srozumitelnější.

Doporučoval bych převést úlohu do Gaussovy roviny komplexních čísel.
Komplexní číslo $u + v \text{i}$ , kde $u, v$ jsou reálná čísla a $\text{i}$ imaginární jednotka, můžeme
vnímat jednak jako bod $[u, v]$ , případně jako vektor $(u, v)$ - dle potřeby. Naopak
bod či vektor roviny opatřené Kartéskou soustavou souřadnic umíme takto vyjádřit ve tvaru
komplexního čísla.
Z analytické geometrie roviny víme, že posunutí dané vektorem $(a, b)$ přiřadí bodu $[x, y]$
bod $[x + a, y + b ] = [x, y] + (a, b)$ , kde pravou stranu této rovnosti můžeme
zapsat ve tvaru $(x + y\text{i}) + (a + b\text{i})$ . Geometrickou operaci posunutí v G.r. tedy umíme
vyjádřit přičtením komplexního čísla representujíciho vektor posunutí.

Otočení $f$ v Gaussově rovině okolo počátku (t.j. komplexní nuly) o úhel $\alpha > 0$ v kladném
směru (tj. proti směru hodinových ručiřek) je pro libovolný bod $z$ dáno předpisem

$f(z) = z\cdot ( \cos \alpha + \text{i}\sin \alpha )$ ,

jak plyne z věty, která se nazývá tuším že Moivreova.

Chceme-li otáčet okolo jiného středu S než je 0, musíme výše popsané otočení zkombinovat
s posunutím . Obrazně řečeno:

1. provedeme posunutí tak, aby se střed otočení dostal do bodu 0,

2. provedeme otočení o příslušný úhel okolo nuly,

3. provedeme posunutí, které vrátí střed otočení z nuly do bodu S.