Matematické Fórum

jakubkoval · 22. 11. 2018 19:40

Určte q geometrickej postupnosti, pre ktorú platí
$a_{1}+a_{4}=18$
$a_{2}+a_{3}=12$

vyjadril som si:
$a_{1}+a_{1}*q^{3}=18$
$a_{1}*q+a_{1}*q^{2}=12$
--------------------------------

a ďalej túto sústavu neviem riešiť, jediné, kam som došiel bola kubická rovnica tvaru
$18q^{3}-12q^{2}-12q+18=0$

o tej ale neviem s istotou povedať, či je správna..
Prosím, niekto ma aspoň naveďte, čo mám robiť...
Ďakujem!

vlado_bb · 22. 11. 2018 19:58

↑ jakubkoval: Jedno riesenie tejto rovnice urcite uhadnes. Potom mozes vyuzit skutocnost, ze ak $q_0$ je korenom polynomu $P(q)$ , tak $P(q)$ je (bez zvysku) delitelny vyrazom $q-q_0$ .

jakubkoval

↑ vlado_bb:
jasné, našiel som riešenie q=-1, ktoré mi však po dosadení dáva
a1+a1*(-1)^3=18
t.j.
a1-a1=18
0=18?

Tej druhej časti s delením polynómov nerozumiem .

vlado_bb

↑ jakubkoval: Ako si vlastne prisiel k tej kubickej rovnici? Ak si z oboch rovnic vyjadril $a_1$ , tak si vsimni, ze to sa da iba za podmienky $q \ne -1, q \ne 0$ . Takze to, ze jednym z rieseni kubickej rovnice je $-1$ , este neznamena, ze to musi byt aj riesenim povodnej ulohy. Ako vidime, ani nie je. Ale pomocou korena $q=-1$ sa daju najst zvysne korene. Bude treba nastudovat nieco o rozklade polynomov na korenove cinitele, pripadne pouvazovat nad inym sposobom riesenia.

jakubkoval · 22. 11. 2018 20:21

↑ vlado_bb:

a1+a1*q3=18
a1*q+a1*q2=12

a1(1+q3)=18 / :II
a1(q+q2)=12

(1+q3) / (q+q2) = 18/12
12+12q3=18q+18q2
12q3-18q2-18q+12=0
nakoniec teda, ak môžem podeliť medzi sebou 2 rovnice v sustave, tak takto

jakubkoval · 22. 11. 2018 20:37

↑ jakubkoval:
rovnicu predelím 6, na zjednodušenie
vzhľadom na to, že kubická rovnica je reciprocká (a=d,b=c), jej koreňom je vždy -1, to znamená, že celý výraz môžem vydeliť (q+1) /zdroj, wikipedia :D
tj dostávam
(2q3-3q2-3q+2) / (q+1) = 2q2-5q+2
kvadratická rovnica s dvoma koreňmi
x1=2
x2=0,5

po dosadení mi však sedia obe, ako potenciálne kvocienty.. sú teda oba korene riešením alebo som niekde urobil chybu?

vlado_bb

↑ jakubkoval: Ak si urobil skusku a mas dve riesenia, tak mas dve riesenia ... Vsimni si symetriu rovnic v zadani, je jasne, ze k rieseniu pochadzajucemu z rastucej postupnosti musi existovat aj riesenie pochadzajuce z klesajucej (tie iste cisla "odzadu").

Matematické Fórum

#1 22. 11. 2018 19:40

geometrická postupnosť

#2 22. 11. 2018 19:58

Re: geometrická postupnosť

#3 22. 11. 2018 20:07 — Editoval jakubkoval (22. 11. 2018 20:12)

Re: geometrická postupnosť

#4 22. 11. 2018 20:13 — Editoval vlado_bb (22. 11. 2018 20:23)

Re: geometrická postupnosť

#5 22. 11. 2018 20:21

Re: geometrická postupnosť

#6 22. 11. 2018 20:37

Re: geometrická postupnosť

#7 22. 11. 2018 20:40 — Editoval vlado_bb (22. 11. 2018 20:45)

Re: geometrická postupnosť

Zápatí