Matematické Fórum

Andrejka3 · 25. 11. 2018 10:52

Ahoj.
Uvažujme malý kruh, který se valí po vnitřním obvodu většího kruhu. V malém kruhu je bod, jehož trajektorii sledujeme.
//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-11/37909_kpok1.png
Přitom stačí uvažovat R a r přirozená a nesoudělná a d menší než r.

Když $r>R/2$ a $d>R-r$ , začnou se tvořit "smyčky" navazující hrana (křivka mezi dvěma parametricky sousedními maximy) se protne s následující hranou. Jako například zde
//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-11/38191_kpok2.png
kde R=7, r=5 a d=3.

Zajímá mě úhlová šířka smyčky -- nejmenší středový úhel, který smyčku obsahuje. To protože chci charakterizovat situace, kdy se dvě smyčky protnou navzájem, například zde

R=7, r=5 a d=2.1

Snažila jsem se využít parametrizaci přes orientovaný středový úhel $\psi$ , který urazil střed malé kružnice kolem středu velké.
$\gamma (\psi)=(R-r)\cdot \begin{pmatrix} \cos \psi \\ \sin \psi \end{pmatrix} +d\cdot \begin{pmatrix} \cos \frac{r-R}{r}\psi \\ \sin \frac{r-R}{r}\psi \end{pmatrix}\;,\quad \psi \in \left(0, 2\pi r \right)\;.$
která plyne z obrázku:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-11/38876_kpok4.png

Ale dostala jsem se k rovnici $\det (\gamma, \gamma')=0$ -- odpovídá bodu na okraji smyčky.
$\det(\gamma,\gamma')=(R-r)^2-\frac{R-r}{r}d^2+(R-r)d\left(2-\frac{R}{r}\right)\cos\frac{R}{r}\psi$

a rovná se nule, když
$(R-r)r-d^2+d\left(2r-R\right)\cos\frac{R}{r}\psi=0$
Pro dané R, r a d teoreticky lze vypočítat středový úhel tohoto bodu a z toho pak stanovit podmínku, kdy se dvě smyčky protnou. Ale vede mi to na složité goniometrické rovnice, přes které se už nedostanu.

Děkuji za rady (byla bych radši za něco jiného než odkaz, protože se to snažím jinak řešit ve vakuu :) )

Matematické Fórum

#1 25. 11. 2018 10:52

Kružnice valící se po kružnici

Zápatí