Matematické Fórum

temat012 · 24. 11. 2018 17:30

Ahoj, potreboval by som poradit, riesim priklad na matematicku indukciu ale zasekol som sa na tomto vyraze (neviem ako mam dalej pokracovat v jeho upravovani):

$6.[2^{n}-(-3)^{n}-n-1] - [2^{n+1}-(-3)^{n+1}-(n+1)-1]+4n+1 =$

misaH · 24. 11. 2018 17:31

↑ temat012:

Daj radšej pôvodnú úlohu.

temat012 · 24. 11. 2018 17:35

$a_{0} = -1$
$a_{1} = 3$
$a_{n+2} = 6_{a_{n}}-a_{n+1}+4n+1$

Dokazte ze plati:

$a_{n} = 2^{n} - (-3)^{n} - n - 1$

laszky · 24. 11. 2018 17:37

↑ temat012:

Ahoj, zkus vyuzit toho, ze $2^{n+1}=2\cdot2^n$ resp. $(-3)^{n+1}=-3\cdot(-3)^n$ .

misaH · 24. 11. 2018 18:01 — Editoval misaH (24. 11. 2018 18:07)

↑ temat012:

Musíš to robiť indukciou?

Dá sa to podľa mňa priamo - no ale môžem sa mýliť...

temat012 · 25. 11. 2018 14:32

↑ laszky:

skusil som to tak ale k zjednoduseniu vyrazu som sa nedostal.

misaH · 25. 11. 2018 14:44 — Editoval misaH (25. 11. 2018 14:46)

↑ temat012:

Robila som to tak, že som urobila $a_{n+2}$ podľa pôvodného predpisu dosadením tohto upraveného pre a_n a a_(n+1) $a_{n} = 2^{n} - (-3)^{n} - n - 1$

a potom som vyrátala $a_{n} = 2^{n} - (-3)^{n} - n - 1$ pre a_(n+2).

No a zhodovali sa...

Ale neviem, či je to nejaký dôkaz...

Máš predpísanú indukciu?

temat012 · 25. 11. 2018 14:51

Ano treba indukciou

laszky · 25. 11. 2018 18:43

↑ temat012:

Pro $n=0$ :

$a_{0} = 2^{0} - (-3)^{0} - 0- 1 = 1-1-0-1 = -1$

Pro $n=1$ :

$a_{1} = 2^{1} - (-3)^{1} - 1 - 1 = 2+3-1-1=3$

Ted predpokladas, ze rovnost plati pro $n+1,n,n-1,\dots,1,0$ a ukazes, ze plati i pro $n+2$ :

$a_{n+2} = 6{a_{n}}-a_{n+1}+4n+1 = 6\Bigr(2^{n} - (-3)^{n} - n - 1\Bigr)-\Bigr(2^{n+1} - (-3)^{n+1} - (n+1) - 1\Bigr)+4n+1 =$
$= (6-2)2^n - (6+3)(-3)^n -(6-1-4)n -(6-2-1) = \cdots$