Matematické Fórum

Flaky · 25. 11. 2018 21:31

Zdravím,

zajímalo by mne, jak by se ukázalo formou protipříkladu, že máme-li $\mu$ definované jako maximum ze dvou vnějších měr, pak se nejedná o vnější míru.

jardofpr · 25. 11. 2018 22:23

ahoj ↑ Flaky:

verim ze taky protipriklad budes hladat marne,
maximum dvoch vonkajsich mier bude zasa vonkajsia miera.

Flaky · 25. 11. 2018 22:30 — Editoval Flaky (25. 11. 2018 23:12)

No to jsem si právě také myslel a už jsem to i víceméně dokázal, nicméně mi bylo řečeno, že mám hledat protipřiklad. Tak jsem hodiny zkoušel protipříklad najít, ale bez úspěchu. Tak já tedy ještě zkusím argumentovat s mým důkazem.

jardofpr · 25. 11. 2018 23:43

↑ Flaky:

Dokaz by mal byt dostatocny argument.
Ak sa bavime o vonkajsej miere ako o netrivialnom, monotonnom a sigma subaditivnom zobrazeni,
tak aj pre spocitatelne vela vonkajsich mier by malo platit ze supremum bude zasa vonkajsia miera.

Na druhej strane maximove tvrdenie neplati pre mieru kvoli aditivnosti, mozno sa stala chyba pri zadavani ulohy.

Flaky · 26. 11. 2018 04:14

A pro onen případ s maximovým tvrzením pro míry by byl nějaký jednoduchý protipříklad nebo by se muselo postupovat pres definici?

jardofpr · 26. 11. 2018 09:43

↑ Flaky:

Mohlo by stacit napriklad mnozina $S = \{a,b\}$ a $\sigma$ -algebra $X = \{\emptyset , \{a\}, \{b\}, \{a,b\}\}$

dve miery $\mu_1, \mu_2$ definovane na $X$ ako:

$\mu_1(\{a\}) = 1 , \mu_1(\{b\}) = 0$
$\mu_2(\{a\}) = 0 , \mu_2(\{b\}) = 1$

mozes skusit overit aditivitu zobrazenia $\mu(\cdot) : = \max\{\mu_1, \mu_2\}(\cdot)$

napriklad pre mnozinu $\{a\}\cup\{b\}$ .

Zaroven mozme skusit $\mu_1, \mu_2$ povazovat za vonkajsie miery a na priklade vyssie len ilustrovat
ze co sa pokazi pre aditivitu sa nepokazi pre subaditivitu.

Flaky · 26. 11. 2018 14:21

↑ jardofpr:

Ano, tento protipříklad jsem nakonec měl taktéž, zároveň je jasné, proč to zde pro vnější míry projde. Přesto mi je stále tvrzeno, že v případě vnějších měr maximové tvrzení neplatí.

Rád bych se tedy na postup důkazu optal

Máme tedy $\mu _{1} ^*,\mu _{2} ^*$ vnější míry a $\forall E\subset X$ $\mu ^*(E)=max\{\mu _{1} ^*(E),\mu _{2} ^*(E)\}$ .

Ověřujeme, zda 1) vnější míra je nezáporná pro každou podmožinu X
2) vnější míra prázdné množiny je nulová
3) vnější míra množiny A je menší rovna vnější míře množiny B pro každé dvě množiny A,B: A je pod B
4) vnější míra spočetného sjednocení An je menší rovna sumě od 1 do nekonečna z vnějších měr z An pro každou posl. An pod X.

Přičemž první tři vlastnosti jsou poměrně jasné, takže bych se zaměřil na vlastnost 4.

Tam jsem si napsal $\mu ^*(\bigcup_{n=1}^{\infty }A_{n})= max\{\mu _{1}^*(\bigcup_{n=1}^{\infty }A_{n}),\mu _{2}^*(\bigcup_{n=1}^{\infty }A_{n})\}$ , což by mělo být menší nebo rovno maximu z oněch dvou sum měr z An, a to z faktu, že obě dvě míry $\mu _{1}^*$ a $\mu _{2}^*$ jsou vnější.

jardofpr

↑ Flaky:

mne to pride ze mozme predpokladat pre lubovolnu pevne zvolenu sekvenciu $\{A_n\}$ ze

$\mu_1^* \big(\cup_{n=1}^{\infty} A_n\big) \ge \mu_2^*\big(\cup_{n=1}^{\infty} A_n \big)$

potom je

$\mu^* \big( \cup_{n=1}^{\infty} A_n) = \max{\{\mu_1^*\big(\cup_{n=1}^{\infty} A_n\big) , \mu_2^*\big(\cup_{n=1}^{\infty} A_n\big)\}} = \mu_1^* \big(\cup_{n=1}^{\infty} A_n\big) \leq$
$\leq \sum_{n=1}^{\infty} \mu_1^*(A_n) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \max{\{\mu_1^*(A_n) , \mu_2^*(A_n)\}} = \sum_{n=1}^{\infty} \mu^*(A_n)$

mozes ked tak napisat presne znenie ulohy a presne znenie definicie ktoru pouzivas?

Flaky · 27. 11. 2018 14:50

Celé zadání: //forum.matweb.cz/upload3/img/2018-11/26458_screenshot_20181127_144648.png

Definice je ta, podle které jsem důkaz prováděl, tj. libovolná funkce na všech podmožinách X, jenž má hodnoty v $\mathbb{R}_{0}$ , která splňuje ony 4 vlastnosti.

jardofpr · 27. 11. 2018 15:47

↑ Flaky:

netusil som ze sa z tejto knihy uci miera niekde v Cechach, smola ze neuvadzaju hinty k uloham.
V kontexte s definiciou v tejto knihe ale verim ze mame spravne odpovede.

Flaky · 28. 11. 2018 10:19

Děkuji za asistenci, vyřešeno.

Matematické Fórum

#1 25. 11. 2018 21:31

Vnější míra - důkaz

#2 25. 11. 2018 22:23

Re: Vnější míra - důkaz

#3 25. 11. 2018 22:30 — Editoval Flaky (25. 11. 2018 23:12)

Re: Vnější míra - důkaz

#4 25. 11. 2018 23:43

Re: Vnější míra - důkaz

#5 26. 11. 2018 04:14

Re: Vnější míra - důkaz

#6 26. 11. 2018 09:43

Re: Vnější míra - důkaz

#7 26. 11. 2018 13:59 Příspěvek uživatele Flaky byl skryt uživatelem Flaky.

#8 26. 11. 2018 14:21

Re: Vnější míra - důkaz

#9 27. 11. 2018 01:53 — Editoval jardofpr (27. 11. 2018 01:55)

Re: Vnější míra - důkaz

#10 27. 11. 2018 14:50

Re: Vnější míra - důkaz

#11 27. 11. 2018 15:47

Re: Vnější míra - důkaz

#12 28. 11. 2018 10:19

Re: Vnější míra - důkaz

Zápatí