Matematické Fórum

PlusPlusPlus

Zdravím,
v posledních dnech jsem se zajímal o tuto posloupnost. Kromě nepodstatné skutečnosti, kdy jsem se naučil dělit devíti s celočíselným zbytkem, se mě podařilo odvodit jeden z tvarů Fibonacciho posloupnosti. Na internetu jsem jej nedohledal (možná jsem málo hledal).

$F(n+1) = \sum_{k=1}^b (\frac{1}{2})^n {n+1 \choose 2k-1}5^{k-1}$ , kde $b=\frac{2n+3+(-1)^n}{4}$

nalezněte důkaz.

Honzc · 29. 11. 2018 06:30

↑ PlusPlusPlus:
To je docela podobné Tomuto-vzorec 63

PlusPlusPlus · 29. 11. 2018 17:17

Zdravím, ↑↑ Honzc:

Je to stejné, drobnými úpravami lze vyjádřit $b$ :
$b=\frac{2n+3+(-1)^n}{4} =\left \lfloor (n+2)/2 \right \rfloor$
$F(n+1) = (\frac{1}{2})^n \sum_{k=1}^{\left \lfloor (n+2)/2 \right \rfloor} {n+1 \choose 2k-1}5^{k-1} = (\frac{1}{2})^n \sum_{k=0}^{\left \lfloor n/2 \right \rfloor} {n+1 \choose 2k+1}5^{k}$

Poslední úpravou je vyjádření $F(n)$ , namísto $F(n+1)$
$F(n) = (\frac{1}{2})^{n-1} \sum_{k=0}^{\left \lfloor (n-1)/2 \right \rfloor} {n \choose 2k+1}5^{k}$

Díky, téma uzavírám.

Matematické Fórum

#1 28. 11. 2018 17:22 — Editoval PlusPlusPlus (29. 11. 2018 17:04)

Tvar Fibonacciho posloupnosti

#2 29. 11. 2018 06:30

Re: Tvar Fibonacciho posloupnosti

#3 29. 11. 2018 17:17

Re: Tvar Fibonacciho posloupnosti

Zápatí