Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#201 16. 12. 2018 12:13 — Editoval vanok (16. 12. 2018 12:15)

vanok
Příspěvky: 14356
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem ↑↑ krakonoš: ( ja vzdy pozdravim, aj ked nietori tu to nedokazu). 
Nie to nie je dobra odpoved. 
Tak dam prvy hint.   
Ako prve mozte prestudovat $v_n=\sum_{k=1}^{n}\(\frac k{n^2}\ln (1+\frac kn)\)$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#202 16. 12. 2018 13:03

Bati
Příspěvky: 2393
Reputace:   188 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑↑ vanok:↑↑ krakonoš:.

1/3 je hodne hruby horni odhad:
$u_n\leq\sum_{k=1}^n\frac k{n^2}\,\frac kn=\frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3}\to\frac13$

Pro clen $\ln(1+\frac k{n^2})$ je tento odhad tesny (protoze druhy clen Taylorova rozvoje $\frac{k^2}{n^4}$ je zanedbatelny), ale pro clen $\ln(1+\frac kn)$ horni odhad nestaci.

Proto staci opravdu zkoumat
$v_n=\sum_{k=1}^{n}\(\frac k{n^2}\ln (1+\frac kn)\)$.
To je ale site na definici Riemannova integralu:
$\lim_{n\to\infty}v_n=\int_0^1x\ln(1+x)\,\mathrm{d}x=[\tfrac12x^2\ln(1+x)]_0^1-\tfrac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x}\,\mathrm{d}x\\
=\tfrac12\ln 2-\tfrac12\int_0^1(x-1)\,\mathrm{d}x-\tfrac12\int_0^1\frac1{x+1}\,\mathrm{d}x\\
=\frac14$.

Oduvodneni $\lim_{n\to\infty}v_n=\lim_{n\to\infty}u_n$:
Z nerovnosti $\ln(1+x)\leq x$, $x\geq0$, zrejme plyne $u_n\leq v_n$. Na druhou stranu vyuzijeme nerovnost $\ln(1+x)\geq x-\frac{x^2}2$, ktera plyne napr. z vysetreni prubehu funkce $f(x):=\ln(1+x)-x+\frac{x^2}2$ na $(0,\infty)$. Z teto nerovnosti dostaneme
$u_n\geq v_n-w_n$,
kde
$w_n=\sum_{k=1}^n\frac{k^2}{n^4}\ln(1+\frac{k}{n})\leq\frac1{n^5}\sum_{k=1}^nk^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4n^5}\to0$, $n\to\infty$.
Pouzitim vety od 2 policajtech dostavame, co jsme chteli.

Offline

 

#203 16. 12. 2018 13:41

vanok
Příspěvky: 14356
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ Bati:,
Ano to je dobra metoda a pochopitelne da aj cakanu dobru odpoved.   

Len poznamenam, ze ani netreba pouzit Taylorov rozvoj: staci ukazat, ze pre kladne realne x, mame $0\le x - \ ln (1+x) \le \frac {x^2}2$ ( na to staci vysetrit vhodne funkcie, a tak takuto otazku mozme dat studentom, ktori poznaju Riemannovu sumu a vediet vysetrovat klasicke funkcie, ako si naznacil a pouzil; tiez mame trochu lepsiu nerovnost $ 0\le v_n-u_n\le \frac {\ln 2}{2n}$ ...ktoru lahko ukazes, co da ze limita rozdielu je nulova a tak $u_n; v_n$ maju rovnake limity).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#204 16. 12. 2018 15:44

Bati
Příspěvky: 2393
Reputace:   188 
 

Re: Limitny maraton

Limita (49)

Urcete $\lim_{x\to0}\frac1{\sqrt{x^{11}}}\left(\frac1{\cosh{x}-\cos{x}}-\frac1{x^2+\frac{x^6}{360}}\right)$.

Offline

 

#205 16. 12. 2018 18:05

vanok
Příspěvky: 14356
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Cau ↑ Bati:,
Rozvoj okolo 0, nam da okamzite nulovu limitu. 

Ale mozno cakas na ine riesenie? Ake?


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#206 16. 12. 2018 18:24

krakonoš
Příspěvky: 1132
Reputace:   33 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Myslis nulovou limitu jmenovatele? Protoze pri prevedeni na spolecneho jmenovatele to je typu -360-360-720/0.Takze vysledna by mala byt nekonecno.Jestli jsem se nespletla v upravach.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#207 16. 12. 2018 18:42 — Editoval vanok (16. 12. 2018 18:43)

vanok
Příspěvky: 14356
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Cau ↑ krakonoš:
Ked urobis rozvoj najed nulovu limitu.   Staci to robit pre kazdy zlomok  v zatvorke a uvidis, ze prve dva  cleny sa potom anuluju.  ( Mozes ist napr.  do radu O(x^7),  co staci).
Mocnina pred zatvorkou celeho vyrazu, nic nezmeni na vysledku.   (Vsak 1/11<6). 

No mozno kolega myslel na nejaku inu metodu.   Iste na o tom napise.   😀


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#208 16. 12. 2018 20:08

Bati
Příspěvky: 2393
Reputace:   188 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Mocnina pred zavorkou neni $\frac{1}{\sqrt[11]x}$, ale $\frac1{\sqrt{x^{11}}}$, ale jinak mas pravdu. Pro uplnost napisu podrobne reseni:
Ze znamych rad pro cosh a cos plyne
$\cosh x-\cos x=x^2+\frac{x^6}{360}+O(x^{10})$, takze s vyuzitim vzorce pro soucet geometricke rady dostaneme
$\frac1{\cosh x-\cos x}-\frac1{x^2+\frac{x^6}{360}}=\frac1{x^2}\left(\frac1{1+\frac{x^4}{360}+O(x^8)}-\frac1{1+\frac{x^4}{360}}\right)\\
=\frac1{x^2}(1-\frac{x^4}{360}+O(x^8)-1+\frac{x^4}{360}+O(x^8))=O(x^6)$. Proto
$\frac1{\sqrt{x^{11}}}\left(\frac1{\cosh{x}-\cos{x}}-\frac1{x^2+\frac{x^6}{360}}\right)=\frac{O(x^6)}{x^{5.5}}\to0$, $x\to0$.

Offline

 

#209 16. 12. 2018 20:23

vanok
Příspěvky: 14356
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

↑ Bati:,
Ano, mas pravdu, no na stastie je ta mocnina mensia ako 6.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#210 16. 12. 2018 20:44 — Editoval krakonoš (16. 12. 2018 21:02)

krakonoš
Příspěvky: 1132
Reputace:   33 
 

Re: Limitny maraton

Ja si nemuzu pomoct,ale vyjadrim-li hyperbolicky cosinus pomoci exponenciely a prevedu-li vse na spolecny zlomek,tak je to opravdu nekonecno t.j. limita zavorky.Navic vzhledem k druhe odmocnine ve jmenovateli ma spis smysl limita zprava k nule.Takze to beru jako chybu zaznamu ,ze tam chybi ten krizek.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#211 16. 12. 2018 22:57

vanok
Příspěvky: 14356
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Pozdravujem ↑ krakonoš:,
To mas pravdu, to + v riguroznom pisani chyba. No vsak ten komentar, moze pytat skusajuci, aby overil, ci student isiel  dostatocne do hlbky co sa tyka cvicenia.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#212 16. 12. 2018 23:47

krakonoš
Příspěvky: 1132
Reputace:   33 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
zalezi na tom jestli to Beti vymyslela sama a na krizek zapomnela,a nebo je to opsano z literatury a je to chytak(je tam ta 11mocnina licha).V prvni chvili jsem si to taky neuvedomila.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#213 17. 12. 2018 05:07

vanok
Příspěvky: 14356
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Cau ↑ krakonoš:,
Takto mas material ako vymysliet sama cvicenia pre inych.  Dobry pocit, ze.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#214 17. 12. 2018 05:27

vanok
Příspěvky: 14356
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

problem (50)

Najdite $\lim_{x\to 0^+}(\sqrt x .\ln(\tan x))$ .


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#215 17. 12. 2018 08:50

krakonoš
Příspěvky: 1132
Reputace:   33 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Využijeme-li,ze tan(x) se na okolí  nuly chová jako x a nasledně rozvedeme ln(x) na okolí bodu 1 v Taylorovu řadu,dostaneme,že limita je rovna nule.
Nebo můžeme limitu pro x jdouci k nule zprava převést na limitu typu$ln(1/x)/\sqrt{x}$ ,kde x konverguje do nekonecna a použít LHospitalovo pravidlo.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#216 17. 12. 2018 09:43 — Editoval vanok (17. 12. 2018 09:44)

vanok
Příspěvky: 14356
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Dobre rano ↑ krakonoš: ,
Co je zaujimave, tento problem sa da vyriesit o mnoho jednoduchsie. 

Hint.  Vyuzite, ze $\ln(\tan x))=\ln x +\ln \frac {\sin x}x -\ln (\cos x)$ (pre kladne dostatocne male $x$ ).  Cakame dokaz, kde vsetko dokladne zvodnite.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#217 17. 12. 2018 11:02

Bati
Příspěvky: 2393
Reputace:   188 
 

Re: Limitny maraton

↑ krakonoš:
Limitu jsem si vymyslel. Limita zavorky je samozrejme 0, ale jde o to ukazat, ze ani ta zaporna mocnina pred tim to nezkazi. Odmocninu zaporneho cisla jsem prehledl, ale pokud by to byla komplexni odmocnina, je to ok.

Offline

 

#218 17. 12. 2018 15:45 — Editoval Pavel (19. 12. 2018 00:03)

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1828
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   135 
 

Re: Limitny maraton

Problem 50 1/2

Bez použití Taylorových rozvojů určete limitu

$
\lim_{x\to 0}\left(\frac 1{\ln(\cos x)}-\frac 1{\ln(\cos(\sin x))}\right)
$


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#219 17. 12. 2018 16:41

krakonoš
Příspěvky: 1132
Reputace:   33 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:
Tvuj navod je ale totez jako ma myslenka,ze ln(tgx) se chova jako ln(x)


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#220 18. 12. 2018 08:56

vanok
Příspěvky: 14356
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ krakonoš:,
Taka myslienka, ak dobre rozumiem sa vola ekvivalencia funkcii. 
Tak prva etapa je to najprv dokazat a potom pokracovat. 
O tom som tu uz vela pisal, ( I ked bez vela uspechu, ale to je tiez velmi ucinna metoda, no zda sa, ze vobec neuci na sk, cz... skoda)
Ked budem mat cas pridam jedno cele riesenie problemu (50).


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#221 18. 12. 2018 10:08

vanok
Příspěvky: 14356
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Ahoj ↑ Pavel:,
Problem(51). 
Myslim si, ze staci vysetrit v okoli nuly
$\left(\frac 1{\ln(\cos x)}+\frac 2{x^2}\right)$ a aj $\left( \frac 1{\ln(\cos(\sin x))}+\frac 2{x^2}\right)
$


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

#222 18. 12. 2018 10:59

krakonoš
Příspěvky: 1132
Reputace:   33 
 

Re: Limitny maraton

↑ Pavel:
Ahoj
Ja si myslim,ze se to prevede na spolecny zlomek,rozdil logaritmu v citateli se vyjadri jako logaritmus podilu.Dostaneme jeden logaritmus v citateli a soucin dvou logaritmu ve jmenovateli.Kazdy argument logaritmu jde k jedne,takze muzeme vyuzit,ze
ln(argument)  se chova na okoli 1 stejne jako (argument -1).Az se dostaneme k vyrazu ( cos(sinx)-cosx)/(cosx.(cosx-1).(cos(sinx)-1)),kde x jde k nule.


tg(x) je funkcí života.Jednou jsi nahoře🗽, podruhé zas dole 🗿.

Offline

 

#223 18. 12. 2018 11:21

stuart clark
Příspěvky: 1013
Reputace:   
 

Re: Limitny maraton

problem $(51)$ Finding  $\lim_{n\rightarrow \infty}n^{-\frac{1}{2}\bigg(1+\frac{1}{n}\bigg)}\cdot \bigg(1\cdot 2^2\cdot 3^3\cdots n^n\bigg)^{\frac{1}{n^2}}.$

Offline

 

#224 18. 12. 2018 13:40 — Editoval Pavel (18. 12. 2018 13:44)

Pavel
Místo: Ostrava/Rychvald
Příspěvky: 1828
Škola: OU
Pozice: EkF VŠB-TUO
Reputace:   135 
 

Re: Limitny maraton

↑ vanok:

Proč právě $\frac 2{x^2}$?

↑ krakonoš:

To by šlo. Co dál?


Backslash je v TeXu tak důležitý jako nekonečno při dělení nulou v tělesech charakteristiky 0.

Offline

 

#225 18. 12. 2018 15:12

vanok
Příspěvky: 14356
Reputace:   740 
 

Re: Limitny maraton

Cau ↑ Pavel:,
Pretoze potom tie ekvivalenty su 1/3 a-1/3.


Srdecne Vanok
The respect, the politeness are essential qualities...and also the willingness.
Do not judge the other one.
Ak odpovedam na nejaku otazku. MOJ PRINCIP NIE JE DAT ODPOVED ALE UKAZAT AKO SA K ODPOVEDI DOSTAT

Online

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson