Matematické Fórum

marostul · 18. 12. 2018 11:17

Mám na súradniciach x y dva body. z roho si môžem zistiť polomer opísanej kružnice $R^{2}=x^{2}+y^{2}=>R=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ . Z toho je napr. sín $\sin \varphi =\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ . Môžeme si vypočítať hociktorú trigonometrickú hodnotu Ako vypočítam dĺžku oblúka medzi bodom na kružnici ktorý mi určuje uhol $\varphi$ voči osy x. Ďakujem vopred za odpoveď.

vlado_bb

↑ marostul: Ak by islo o jednotkovu kruznicu, dlzka obluku je $\varphi$ . Ak ma polomer $R$ , tak $R\varphi$ .

Pozn.: s fyzikou to nema nic spolocne, presuvam do strednej skoly, matematika.

marostul · 18. 12. 2018 11:55

Trochu opravím otázku. Poznám iba trigonometrické hodnoty nemám prevodnú kalkulačku, takže uhol $\varphi$ si neviem určiť.

vlado_bb

↑ marostul: Teda napriklad poznam $\sin \varphi$ a $\cos \varphi$ a chcem vediet $\varphi$ ? Potom treba pouzit funkcie $\arcsin$ a $\arccos$ . No a samozrejme nezabudnut, v ktorom kvadrante je prislusny bod. Teda napriklad ak $a=\sin \varphi, b=\cos \varphi$ , pricom $a>0, b<0$ , tak zrejme ide o uhol v druhom kvadrante a $\varphi = \frac{\pi}{2}+\arccos a$ . Urob si obrazok, tam to bude uplne jasne.

Rumburak · 18. 12. 2018 15:42

↑ marostul:

Ahoj. Obávám se, že dva body, jimiž hledaná kružnice prochází, k jejímu určení nestačí.

vlado_bb · 18. 12. 2018 16:05

↑ Rumburak:Podľa úvodného príspevku usudzujem, že pôjde dokonca iba o jeden bod, na druhej strane sa mi ale zdá, že poznáme stred. Ale v dialógu so zadávateľom snáď vyjde pravda najavo.

MichalAld · 18. 12. 2018 22:14

marostul napsal(a):
Trochu opravím otázku. Poznám iba trigonometrické hodnoty nemám prevodnú kalkulačku, takže uhol $\varphi$ si neviem určiť.

No když nedokážeš určit úhel (žádným způsobem), nedokážeš určit ani délku toho oblouku.
Protože když se zamyslíš nad tím, jak je definovaný úhel, vzpomeneš si nakonec, že úhel je prostě ta délka oblouku (OK na kružnici o jednotkovém poloměru, ale to už není tak důležité). A samozřejmě - úhle je v radiánech.

Jediná možnost je (jak už tu bylo řečeno) použít tu inverzní funkci k některé z goniometrických funkcí.

Je to úplně to samé, jako když řekneš, že $10^x = 7$ a chceš určit to x (a přitom nemáš kalkulačku na výpočet logaritmů). Nebo když $x^2 = 23$ a chceš určit x (a nemáš kalkulačku na druhou odmocninu).

Nebo že $7x = 13$ a chceš znát x (a nemáš kalkulačku na dělení)

Pokud nemáš kalkulačku, můžeš si výpočet inverzní funkce (tak se to obecně jmenuje) třeba naprogramovat. A pokud nemáš ani počítač, můžeš si to nakonec udělat i ručně. Není to až tak těžké, pokud to nepotřebuješ moc přesně.

marostul · 19. 12. 2018 12:38

Ďakujem za odpovede. $arcsin$ je inverzná funkcia sínusu. Pri kreslení to veľmi dobre vyzerá. Mne išlo o to či sa dá vypočítať arcsín priamo zo sínusu.

Rumburak

↑ marostul:

Když $y(\alpha) = \sin \alpha$ , pak $x = \arcsin y(\alpha)$ právě tehdy, když

$\sin x = \sin \alpha \wedge -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$ .

marostul · 20. 12. 2018 12:19

nie som si istý ale ten interval v tej nerovnici môžeme vyriešiť iba keď poznáme funkciu x.

Honzc · 20. 12. 2018 14:22

↑ marostul:
Napíšu ti ti ještě jinak
$arc\sin (sin x) =x \wedge -\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{\pi}{2}$

MichalAld · 20. 12. 2018 19:13

marostul napsal(a):
Ďakujem za odpovede. $arcsin$ je inverzná funkcia sínusu. Pri kreslení to veľmi dobre vyzerá. Mne išlo o to či sa dá vypočítať arcsín priamo zo sínusu.

Zpravidla je výpočet inverzní funkce obtížnější, než té původní. Jednoduchý příklad je mocnina versus odmocnina.

Pokud máme štěstí, podaří se nám nalézt vhodnou mocninnou (nebo jinou) řadu, podle které lze hodnotu funkce spočítat.

A přibližně (numericky) lze inverzní funkci vyčíslit, pokud známe tu původní - tak že to vhodným postupem postupně zpřesňujeme.

vlado_bb · 21. 12. 2018 08:46

MichalAld napsal(a):
Zpravidla je výpočet inverzní funkce obtížnější, než té původní.

Skor by som povedal ze v skole sa z dvojice inverznych funkcii najskor prebera ta (v nejakom zmysle) jednoduchsia. Pretoze obe su si rovnocenne - tak ako je na vhodnej mnozine $\arcsin$ inverzna k $\sin$ , je aj $\sin$ inverzna k $\arcsin$ .

MichalAld · 21. 12. 2018 12:40

↑ vlado_bb:
Zrovna u sinu a cosinu je to asi jedno.

Ale jsou případy, kdy je prostě definována tím, že je inverzní k něčemu - a většinu jejich vlastností (včetně třeba její derivace) odvozujeme z vlastností té původní funkce. Bez té původní funkce bychom ji snad ani nedokázali rozumě definovat.

Příkladem je určitě třeba logaritmus, ln x, a třeba také odmocnina z x.

Pokud už ovšem funkci máme nějak rozumě definovanou, a dokážeme počítat její hodnoty, a třeba nalézet její rozvoj do mocniné řady, pak už je asi jedno, která z nich je ta "inverzní".

vlado_bb · 21. 12. 2018 13:37

↑ MichalAld: To uz suvisi s filozofickou otazkou povahy matematiky, ci je to nieco vytvarane clovekom alebo na cloveku nezavisle. Oba su namieste, ale moj je ten druhy :)

Rumburak

↑ MichalAld:

Ahoj.

Pojem "inversní" je v matematice obecně pojmem relativním - například

(1) inversní prvek k číslu $3$ vzhledem k operaci součtu reálných čísel je reálné číslo $-3$ ,

(2) inversní prvek k číslu $3$ vzhledem k operaci součinu reálných čísel je reálné číslo $1/3$

a pod. Viz příslušné definice v příslušných teoriích.

Relace býti inversním prvkem (v tom či onom smyslu) je vždy symetrická (aspoň
v klasických teoriích - nevím jak v teoriích méně známých), například výrok (1) je
ekvivalentní výroku

(1') inversní prvek k číslu $-3$ vzhledem k operaci součtu r.č. je r.č. $3$ a pod.

Poznamenejme, že inversní prvek (v daném smyslu) nemusí nutně existovat ve všech
případech. Například ve standardní aritmetice platí, že k reálnímu číslu 0 inversní prvek
vzhledem k součinu neexistuje.
Zůstaneme-li u součinu reálných čísel, potom -1 je inversním prvkem sám k sobě,
protože $(-1)(-1) = 1$ .

P.S.
Pokud můj příspěvek působí jako snůška trivialit, pak se omlouvám. Měl jsem však dojem,
že tento přístup neuškodí.

Matematické Fórum

#1 18. 12. 2018 11:17

Kruhový výsek

#2 18. 12. 2018 11:30 — Editoval vlado_bb (18. 12. 2018 11:30)

Re: Kruhový výsek

#3 18. 12. 2018 11:55

Re: Kruhový výsek

#4 18. 12. 2018 13:15 — Editoval vlado_bb (18. 12. 2018 13:15)

Re: Kruhový výsek

#5 18. 12. 2018 15:42

Re: Kruhový výsek

#6 18. 12. 2018 16:05

Re: Kruhový výsek

#7 18. 12. 2018 22:14

Re: Kruhový výsek

marostul napsal(a):

#8 19. 12. 2018 12:38

Re: Kruhový výsek

#9 19. 12. 2018 14:12 — Editoval Rumburak (21. 12. 2018 13:24)

Re: Kruhový výsek

#10 20. 12. 2018 12:19

Re: Kruhový výsek

#11 20. 12. 2018 14:22

Re: Kruhový výsek

#12 20. 12. 2018 19:13

Re: Kruhový výsek

marostul napsal(a):

#13 21. 12. 2018 08:46

Re: Kruhový výsek

MichalAld napsal(a):

#14 21. 12. 2018 12:40

Re: Kruhový výsek

#15 21. 12. 2018 13:37

Re: Kruhový výsek

#16 21. 12. 2018 15:24 — Editoval Rumburak (21. 12. 2018 16:08)

Re: Kruhový výsek

Zápatí