Matematické Fórum

latram · 30. 12. 2007 16:55

Prosím o pomoc s následujícím příkladem:
Stanovte supremum, infimum a limitu posloupnosti, kde k-tý člen je roven
bk = (-1)^k * (1 - 12/k^2)
Díky

plisna · 30. 12. 2007 19:12

limita te posloupnosti neexistuje, zpusobuje to clen (-1)^k, proto je tato rada alternujici. supremum je 11 a infimum je -2 za predpokladu, ze k = 1,2,...

latram · 08. 01. 2008 19:07

mohl bys mi prosím napsat, jak jsi došel k těm výsledkům? vůbec netuším, jak postupovat

plisna · 08. 01. 2008 19:48

ta limita neexistuje, protoze rada alternuje - porad meni znamenko, n-ty clen je kladny, n+1 zaporny n+2 opet kladny atd. to supremum a infimum stanovis tak, ze si spocitas nekolik prvnich clenu, pak uz je to celkem videt.

Marian · 08. 01. 2008 21:41

to plisna:

Pokud jsem spravne precetl nahore, neni zde zminka o radach. Pravdepodobne jsi mel namysli posloupnost, popr. alternujici posloupnost.

Marian · 09. 01. 2008 13:06 — Editoval Marian (09. 01. 2008 13:47)

Jeste bych chtel upozornit na tu skutecnost, ze pokud posloupnost alternuje, nemusi nutne neexistovat. Tedy prispevek #4, konkretne jeho prvni fyzicka veta, neni v poradku. Verim ale, ze vsichni vedi, o co presne kraci.

[edit.] Uz jsem to opravil. Chtel jsem napsat neco jineho. Jde mi ale o to, upozornit, ze nemohu obecne zduvodnovat neexistenci vlastni limity posloupnosti tim, ze posloupnost alternuje.

Navic, pokud ciselna posloupnost nekonverguje, nazyva se divergentni, takze rec o divergenci posloupnosti tam jiste je.

plisna · 09. 01. 2008 13:21

vsak take v prispevku #4 neni o divergenci vubec rec

Marian · 09. 01. 2008 13:36

viz #6 a #6-edit

plisna · 09. 01. 2008 14:00

ok :-) a jak by jsi zduvodnil ty, ze limita te posloupnosti neexistuje?

Marian · 09. 01. 2008 14:12

Ted nebudu mit nekolik hodin cas. Ale pokusim se odpovedet jeste dneska. Pokud nekde usporim pulhodinku, tak to tu hodim drive nez vecer. Ale bude to velice jednoduche ...

Marian · 10. 01. 2008 16:10 — Editoval Marian (10. 01. 2008 16:11)

Priklad budu resit tak, ze najdu dve vybrane poslupnosti a ukazu, ze existuji jejich vlastni limity a jsou ruzne. Tak dostanu spor s tim, jak je definovana vlastni limita ciselne poslounosti.

Nejprve oznacim

$b_k:=(-1)^k\left ( 1-\frac{12}{k^2}\right )$

a dale definuju vybrane posloupnosti $\{b_k'\}_{k=1}^{\infty}$ a $\{b_k''\}_{k=1}^{\infty}$ jako vybrane posloupnosti z posloupnosti $\{b_k\}_{k=1}^{\infty}$ takto:

$b_k':=b_{2k}$ a $b_k'':=b_{2k-1}$ ,

kde v obojim pripade index k nabyva vsech hodnot z mnoziny prirozenych cisel $\mathbb{N}$ . Pak

$b':=\lim_{k\to\infty}b_k'=\lim_{k\to\infty}(-1)^{2k}\left (1-\frac{12}{(2k)^2}\right )=\lim_{k\to\infty}\left (1-\frac{12}{4k^2}\right )=1$

a

$b'':=\lim_{k\to\infty}b_k''=\lim_{k\to\infty}(-1)^{2k-1}\left (1-\frac{12}{(2k-1)^2}\right )=-\lim_{k\to\infty}\left (1-\frac{12}{(2k-1)^2}\right )=-1$ .

Tedy existuji alepson dve vybrane konvergentni posloupnosti $\{b_k'\}_{k=1}^{\infty}$ a $\{b_k''\}_{k=1}^{\infty}$ z posloupnosti $\{b_k\}_{k=1}^{\infty}$ takove, ze jejich limity b' a b'' se ruzni. To implikuje divergenci posloupnosti $\{b_k\}_{k=1}^{\infty}$ .