Matematické Fórum

Flaky · 23. 12. 2018 13:25

Zdravím,

chtěl bych prodiskutovat postup u následujícího příkladu.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2018-12/66780_screenshot_20181223_130547.png

jardofpr

ahoj ↑ Flaky:

mne to príde že si len zapísal tvrdenie ktoré sa snažíš dokázať, pričom mi nie je úplne jasné čo myslíš zápisom $\forall x\in X\,:\,\int f(x)\mathrm{d}\mu <\infty$

mimochodom JNI znamená len $f(x) = \sum_{i=1}^{n} a_i \chi_{A_i}$ a $\int f\mathrm{d}\mu<\infty$ ?

potom môžeš použiť napr. $f\vee g = \frac{f+g+|f-g|}{2}$ , $f\wedge g = \frac{f+g-|f-g|}{2}$ (ak je $f$ JNI tak aj $|f|$ je JNI)

alebo použiť $f\leq g$ skoro všade, tak $\int f\mathrm{d}\mu \leq \int g\mathrm{d}\mu$ $(\bigstar)$

prípadne rozpis oboch funkcií na ich súčty cez charakteristické funkcie

Flaky · 26. 12. 2018 10:21 — Editoval Flaky (26. 12. 2018 10:23)

Mno, kdybych si takto rozepsal danou funkci, pak tedy dostanu jednu polovinu ze součtu integrálů z f ,g a abs(f-g), o kterých lze říci , že jsou všechny menší, než nekonečno z integrovatelnosti obou funkcí f a g

a druhý případ se bude lišit akorát znaménkem před posledním sčítancem.

jardofpr · 26. 12. 2018 13:48

↑ Flaky:

skoro tak, tú absolútnu hodnotu ešte rozbiť cez trojuholníkovú nerovnosť aby si to mal úplne čisté
ale reálne aj tak budeš potom potrebovať výsledok označený hviezdičkou v príspevku vyššie

$f,g$ sú nezáporné okrem iného tak by mohlo byť jednoduchšie

$0\leq \min{\{f(x),g(x)\}}\leq \max{\{f(x),g(x)\}}\leq f(x)+g(x) \,,\,\forall x\in X$

Flaky · 26. 12. 2018 15:46

↑ jardofpr:

No, je to rozdil dvou jednoduchych meritelnych funkci, ktery je jednoducha meritelna funkce a meritelna funkce je integrovatelna prave tehdy, kdyz je jeji abs. Hodnota integrovatelna

jardofpr · 26. 12. 2018 16:43

↑ Flaky:

t.j. pre $f\vee g$ potrebuješ $\int |f-g|\mathrm{d}\mu<\infty$ a máš k dispozícii $\int f\mathrm{d}\mu<\infty$ a $\int g\mathrm{d}\mu<\infty$ , preto to rozbitie absolútnej hodnoty

Flaky · 26. 12. 2018 19:12

Ano, to jsem měl na mysli. Dostanu tedy ve výsledku jednu polovinu ze součtu integrálů, kde na poslední z nich aplikuji troj. nerovnost, čímž docílím toho, že bude ve všech vystupovat pouze funkce f či g a tedy budou všechny sčítance menší, než nekonečno z předpokladu

jardofpr · 26. 12. 2018 20:45

↑ Flaky: tak tak

Matematické Fórum

#1 23. 12. 2018 13:25

Jednoduché nezáporné integrovatelné funkce

#2 23. 12. 2018 15:54 — Editoval jardofpr (26. 12. 2018 13:44)

Re: Jednoduché nezáporné integrovatelné funkce

#3 26. 12. 2018 10:21 — Editoval Flaky (26. 12. 2018 10:23)

Re: Jednoduché nezáporné integrovatelné funkce

#4 26. 12. 2018 13:48

Re: Jednoduché nezáporné integrovatelné funkce

#5 26. 12. 2018 15:46

Re: Jednoduché nezáporné integrovatelné funkce

#6 26. 12. 2018 16:43

Re: Jednoduché nezáporné integrovatelné funkce

#7 26. 12. 2018 19:12

Re: Jednoduché nezáporné integrovatelné funkce

#8 26. 12. 2018 20:45

Re: Jednoduché nezáporné integrovatelné funkce

Zápatí