Matematické Fórum

Dobrý deň,
tu

https://www.youtube.com/watch?v=muZmoo7VDYc

som našiel definíciu nulového posunu ako nulového vektoru, podľa ktorej by mal by nulový vektor rovnobežný s inými vektormi.

Dobrý deň,
ďakujem.

ahojte

len poznamka

MichalAld napsal(a):

z čehož plyne, že



což když je alespoň jeden z vektorů nulový, vede na neurčitý výraz typu

ak je aspoň jeden z vektorov nulový nejde urobiť v prvom rade úpravu

To by také znamenalo, že nulový vektor je kolmý i sám na sebe, což je (jak jistě uznáš) dost podivná představa.

Já bych se prostě držel toho, že úhel mezi nulovým vektorem (a něčím jiným) nelze rozumě definovat. Stejně jako nelze definovat úhel mezi přímkou a bodem.

Ale když už to autor skript zmiňuje, měl by také zmínit, jak je definovaný úhel dvou vektorů - potom se z toho dá určit, jaký je vzájemný úhel i dvou nulových vektorů. Já znám jen ten vztah, co jsem zmínil - a ten pro nulové vektory není definovaný.

↑ fmfiain:
Dobrý den. Abychom mohli rozhodnout, je třeba si vybrat jednu konkrétní definici rovnoběžnosti vektorů a jednu konkrétní definici kolmosti vektorů.
V daných skriptech pak ale vycházet z definic uvedených tam.

Jinak, v čem by mělo být užitečné vědět, zda nulový vektor je s každým rovnoběžný nebo kolmý?

↑ MichalAld:
Dobrý deň,
ja som to pochopil tak, že posun (translácia) nulovým vektorom existuje, ale jednorozmerná varieta (priamka) sa s ním definovať nedá. A teda bod + nulový vektor je stále iba bod (čiže nula rozmerná varieta). A ak priamka, u ktorej sa pripočíta nulový vektor k ľubovoľnému bodu priamky, tento nulový vektor zachováva rovnobežnosť s pôvodnou priamkou.

↑ MichalAld:

Ahoj.

Nemal by si zadávateľa mýliť svojimi vlastnými predstavami a pochybnosťami.

Definícia je definícia (...), naozaj nemá zmysel sa o tom sporiť.

Tiež by si mohol tvrdiť všeličo o rovnobežkách, a zober si trebárs lobačevského geometriu...

↑ fmfiain:

:-)

↑ fmfiain:
Já si myslím, že celý problém se točí kolem toho, jak matematici občas s oblibou dávají běžně známým pojmům nové významy. Konkrétně tady:

Když je skalární součin dvou vektorů roven nule <u,v> = 0, nazýváme vektory ortogonální (tedy KOLMÉ). Jenže nějak zapoměli, že my, obyčejní lidé, nazýváme slovem KOLMÉ věci, které mají jisté geometrické vlastnosti.

Ale tady né - tady se prostě řekne, že "kolmé" pro nenulové vektory znamená, že svírají úhel 90° (to je to, na co jsme zvyklí) a když je alespoń jeden z nich nulový, tak že jsou "kolmé z definice" - ale jejich vzájemný úhel není možné určit.

A takto je to třeba brát - nulový vektor je na něco "kolmý" jen proto, že jsme ho za "kolmý" prohlásili, nic víc to neznamená. Vůbec to nesouvisí s nějakými jeho geometrickými vlastnostmi - protože jeho úhel nedokážeme stanovit. V dokumentu, co odkazuje uživatel vanok lze dokonce najít, že úhle dvou vektorů, kde jeden z nich je nulový, pokládáme rovný nule (), což nám ovšem vůbec nebrání je považovat za "kolmé"...

Podle mě je nejjednodušší na to nazírat tak, že opravdu "kolmé" mohou být jen nenulové vektory, ty nulové mohou být maximálně ortogonální - a k tomu si ještě pamatovat, že s nulovými vektory musíme obecně zacházet trochu jinak než s těmi nenulovými. Třeba známá věta o tom, že navzájem ortogonální vektory jsou lineárně nezávislé platí samozřejmě také jen pro nenulové vektory (vynechal jsem to tam schválně, aby to bylo zřejmé).

Podobně jako u tvého příkladu s posunutím přímky ve směru vektoru - předpoklad že když translací přímky dostaneme identickou přímku - tak že vektor translace musel být rovnoběžný s tou přímkou - ten předpoklad s určitostí platí zase jen pro nenulové vektory. Pro nulový vektor jsme zase tam kde předtím - směr nelze určit.

Můžeš si představit, že vektor translace je nějaký malý, ale nenulový vektor v obecném směru. Potom obraz přímky není identická přímka, ale leží malý kousek od ní. No a pak si představ, že vektor postupně zkracuješ, až je "téměř nulový". Obraz přímky bude už také "téměř ta půdovní přímka". Nezáleží na směru toho vektoru translace, když bude malý, bude obraz přímky vždycky blízko. A když bude vektor translace nulový, bude obraz přímky identickcý se vzorem - ať už by byl směr toho vektoru jakýkoliv.

Takže když to shrnu - směr nulového vektoru nelze určit (ale v rámci algebry si ho asi můžeme zvolit libovolný, ale není z toho žádný velký užitek)

Nulový vektor je orthogonální (ve smyslu nulového skalárního součinu) na jakýkoliv jiný vektor - ale to je důsledkem té jeho nulovosti, né jeho směru.

A asi (alespoň ve tvých skriptech) považujeme slovo "kolmý" za ekvivalent slova "ortogonální" - a to i pro nulové vektory, ať už to znamená cokoliv. Ale pro nulové vektory to nijak nesouvisí s jejich směrem...

S nulovým vektorem musíme zacházet trochu opatrněji než s těmi nenulovými, podobně jako s číslem nula, nebo se singulárními maticemi.