Matematické Fórum

↑ 1jirka22:

Pokusím se na to odpovědět, ale neručím za plnou správnost tvrzení.
Vezměme si například matici [0 0;0 1] , která je zobrazení z R^2 do R^2 a
určuje projekci vektoru na přímku,která prochází počátkem (y=-x snad :) ), a má vlastní čísla 1 a 0.
Podprostory jsou generovány vl. vektory M1= LO{[ -1,1]} a M0= LO{[ 1,1]}.

Dalo by se říci, že M1 jsou vektory, které leží na přímce, a tedy se zobrazí na sebe,
proto je vlastní číslo rovno 1. M0 jsou vektory, které jsou kolmé k přímce, a tedy je lze zobrazit do počátku.
Resp. do bodu, a proto je vlastní číslo rovno 0.
Vektory, které nepatří do M0 a M1 jsou jejich lineární kombinací, takže taky víme, co s tím udělat.

Tato problematika je blíže popsána ve skriptech Barto,Tůma.

1jirka22 napsal(a):

Dobrý den,
mohl bych vás poprosit o nějaké názorné vysvětlení vlastních čísel a vlastních vektorů? Vůbec si to neumím představit.
Co vlastně znamená matice, vlastní číslo a vlastní vektor?
Četl jsem různé definice na internetu, ale nic mi to neříká. Potřeboval bych to vysvětlit polopaticky :)
Neznamená to, že matice je vlastně soubor nějakých vektorů, které když vynásobím vlastním vektorem, tak dostanu vektor, který je k násobkem vektoru jednoho z matice?
A zároveň platí, že součin vlastního čísla s vlastním vektorem je také nějaký k násobek jednoho vektoru z matice?

Děkuji

1) mohl bych vás poprosit o nějaké názorné vysvětlení vlastních čísel a vlastních vektorů? Vůbec si to neumím představit.
    Co vlastně znamená matice, vlastní číslo a vlastní vektor?
    Četl jsem různé definice na internetu, ale nic mi to neříká. Potřeboval bych to vysvětlit polopaticky :)


  Tohle je opravdu jen o definicích. Snažila jsem se to nějak vysvětlit na tom příkladu.
  Máš nějaké konkrétní otázky?

2) Neznamená to, že matice je vlastně soubor nějakých vektorů, které když vynásobím vlastním vektorem, tak dostanu vektor, který je k násobkem vektoru jednoho z matice?
A zároveň platí, že součin vlastního čísla s vlastním vektorem je také nějaký k násobek jednoho vektoru z matice?

   Nad tímto by ses měl ještě trochu zamyslet. Lze najít nějaký protipříklad, který by vyvrátil ty tvrzení?

↑ MichalAld:
Samozřejmě že znám tyto operace s maticemi i vektory.
Ale prostě ty vlastní čísla a vektory také umím spočítat, ale nevím, co to je...
Jen chci jako nějak lehké vysvětlení tohoto, bez definic...

Ahojte

↑ Pomeranc: povedal by som že tie podpriestory vlastných vektorov budú pre tvoju maticu vyzerať inak
vektory z tvojho M1 sa nezobrazia na svoje skalárne násobky a takisto vektory z tvojho M0 sa nezobrazia do počiatku
okrem toho to že sú vlastné podpriestory v tvojom príklade na seba kolmé nie je pravidlom

myšlienka s vizualizáciou na príklade matice 2x2 je dobrá, pozrime sa na ňu ako maticu lineárneho zobrazenia

takáto matica s reálnymi koeficientami udáva lineárne zobrazenie ako píše kolega, v zmysle pre
t.j. každý vektor z   sa zobrazí na vektor z , pričom sa jeho veľkosť a smer buď zmenia alebo nie

ak má takáto matica reálne nenulové vlastné číslo, tak nám to povie že existuje podpriestor prislúchajúci tomuto vlastnému číslu, ktorý sa rovná svojmu obrazu pri zobrazení , t.j. obrazy vektorov z tohto podpriestoru majú ten istý, alebo presne opačný smer ako pôvodné vektory (udáva to znamienko vlastného čísla)
absolútna hodnota vlastného čísla nám zároveň povie ako sa zmení veľkosť takéhoto vektora z vlastného podpriestoru

v prípade nulového vlastného čísla nám to zasa vraví že existuje podpriestor ktorý sa celý zobrazí do počiatku/na nulový vektor
zároveň pri zobrazení s takou maticou prichádza teda k strate informácie lebo už neplatí jeden vzor=jeden obraz
a celá rovina sa napr. v prípade jedného nulového vlastného čísla zobrazí na priamku

uviedol by som ešte príklad s maticou 

na obrázku nižšie je jednotkový štvorec (modrým) a jeho obraz pri zobrazení s maticou (červeným)

môžme si všimnúť že jediné vektory z tohto štvorca (stotožňujem bod a vektor) sa zobrazili na seba,
a vektory sa zobrazili na svoje dvojnásobky

všetky ostatné vektory zmenia smer (t.j. nezobrazia sa na tú istú priamku prechádzajúcu počiatkom)

prekvapením nie je že matica má vlastné čísla a im prislúchajú podpriestory    a     (na obrázku zeleným)


nezachytáva to úplne všeobecný prístup k týmto pojmom ale ako vizualizácia pre špeciálnu potrebu by to mohlo stačiť

↑ jardofpr:

Ano, máš pravdu, že jsem se upočítala. Tedy M1= LO{[ 0,1]} a M0= LO{[ 1,0]}.
A tedy i ta přímka bude jiná.

Ten příklad jsem volila tak, aby si to autor příspěvku mohl nějak rozmyslet.
Domnívala jsem se, že když jde něco diagonalizovat, tak to jde i ortogonálně diagonalizovat.
Ale třeba se pletu...