Matematické Fórum

jinsun · 02. 01. 2019 11:20

Zdravím, počítám dešifrofání Hillovy matice, kde je zadáno $H$ , takže je třeba spočítat $H^{-1}$ . Nesmíme užít determnitnatu, musíme přes inverzní matici. Dostal jsem se do této fáze (připomínám že matice je mod(26)):
$\left[ \begin{array}{cc|cc} 3 & 2 & 1 & 0 \\ 7 & 5 & 0 & 1 \\ \end{array} \right] \sim \left[ \begin{array}{cc|cc} 3 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 25 & 7 & 23 \\ \end{array} \right]$
a teď právě nemou nikde najít, jak dál postupovat. Trojku v prvním řádku chci nahradit za 1, proto sestrojím kongurenci: $3x\equiv 1(26)$ , vyjde že $x= 9$ . To samé pro dvojku v prvním řádku proto vyřeším kongurenci: $2x\equiv 0(26)$ , kde mi vyjde že $x = 13$ ale dál už nevím jak s temito hodnoty pracovat, mám za to, že se nejak násobily zbylé hodnoty v daném řádku. Najde se tady někdo kdo mě nejakým zpsůobem nasměruen jak dál? děkuji mnohokrát

jardofpr · 02. 01. 2019 14:09

ahoj ↑ jinsun:

jinsun napsal(a):
Trojku v prvním řádku chci nahradit za 1, proto sestrojím kongurenci: $3x\equiv 1(26)$ , vyjde že $x= 9$

toto je ok

jinsun napsal(a):
To samé pro dvojku v prvním řádku proto vyřeším kongurenci: $2x\equiv 0(26)$ , kde mi vyjde že $x = 13$

nie pre dvojku v prvom riadku (ten už máš vyriešený), ale pre 25ku v riadku 2

budeš mať $\left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & 18 & a & b \\ 0 & 1 & c & d \\ \end{array} \right]$ a naľavo už potom nie je problém dostať jednotkovú maticu $2\times 2$

jinsun · 02. 01. 2019 15:08 — Editoval jinsun (02. 01. 2019 15:12)

↑ jardofpr: donbře mám tedy to $x=9$ , ale já nevím práve jak s tím dál, tou devítkou pak vynásobím zbylé prvky toho řádku a mod(26), to je to co mi není práve jasné

jardofpr

↑ jinsun:

presne tak, primárne chceš "presunúť" jednotkovú maticu sprava doľava, ale celé je to jedna veľká matica
takže keď jeden prvok riadka preškáluješ vynásobením, musí sa tak stať aj pre ostatné prvky v riadku

čo si robil pôvodne ty že si chcel dvakrát škálovať ten istý riadok

aby bolo možno jasnejšie ako to funguje týmto postupom

vľavo máš pôvodnú maticu $A$ a robíš na nej len elementárne riadkové operácie
(prenásobenie riadka konštantou, pripočítanie násobku riadka inému riadku, výmena riadkov)
každá takáto operácia je ekvivalentná prenásobeniu matice maticou elementárnej operácie

t.j. keď sa snažíš vľavo dostať jednotkovú maticu, robíš vlastne reťaz operácií aplikovanú na pôvodnú maticu $I_n = AE_1E_2\dots E_k$

zároveň ale platí $AA^{-1}=I_n$

z týchto dvoch rovností je $AE_1E_2\dots E_k = AA^{-1}$ a pri invertovateľnej matici teda aj $E_1E_2\dots E_k = A^{-1}$

teda slovne: tie isté operácie použité na to aby z matice A bola jednotková matica, dávajú dohromady inverznú maticu

snáď som ťa nedoplietol ešte viac