Matematické Fórum

AterCZ · 05. 01. 2019 10:49 — Editoval AterCZ (05. 01. 2019 10:50)

Zdravím,
snažím se vyřešit příklad. Mohu poprosit o pomoc?

Najdi vázané lokální extrémy fce dvou proměnných
$2x^{2}+y^{2}$ při vazební podmínce $x^{2}-y-1=0$

Úprava vazební podmínky
$y=x^{2}-1$

Dosazení do rovnice
$f(x)=x^{4}+1$

První derivace
$f^{,}(x)=4x^{3}$

Bod podezřelý z extrému
$A = (0;-1)$

Druhá derivace
$f^{,,}(x)=12x^{2}$

Dosazení A
$f^{,,}(x)=12*0^{2}$

$f^{,,}(x)=0$

V bodě A má být lokální minimum, samotný bod A je dle výsledků správně.

Rumburak · 05. 01. 2019 11:09

↑ AterCZ:

Ahoj.

V podstatě jsi úlohu na extrém s vazbou převedl na úlohu o extrému funkce jedné proměnné,
což je v pořádku. Že funkce $f(x)=x^{4}+1$ má v bodě 0 lokální (dokonce absolutní) minimum,
je zřejmé (neboť pro reálné $x$ je $x^4 \ge 0$ ).

AterCZ · 05. 01. 2019 11:16

↑ Rumburak: děkuji za odpověď.
Mohu poprosit ještě o dovysvětlení, popřípadě o radu, kde bych se to mohl doučit? Mám naučený jen postup, kdy u dosazovací metody lokální extrém je v případě, že právě ta druhá derivace je buď větší, nebo menší než 0.

Rumburak · 05. 01. 2019 12:11

↑ AterCZ:

Je to spíše o úvaze než o nějaké "metodě".

Když má funkce jedné proměnné na nějakém otevřeném intervalu kladnou první derivaci, je na tomto
intervalu rostoucí, což plyne z předpisu definujícího první derivaci.
Analogicky: Když má funkce jedné proměnné na nějakém otevřeném intervalu zápornou první derivaci,
je na tomto intervalu klesající.
(Obrácená implikace ale neplatí: Je-li funkce na ot. intervalu monotonní, má sice v mnoha jeho bodech
derivaci, ale ne nutně ve všech. )

Odtud plyne i nutná podmínka pro extrém: Ma-li funkce jedné proměnné ve vnitřním bodě intervalu lokální
extrém a zároveň derivaci, je tato rovna nule. Tuto podmínku nelze obrátit - samotná nulovost první derivace
extrém nezajišťuje.

Dále:
Když má funkce jedné proměnné na nějakém otevřeném intervalu kladnou druhou derivaci, je na tomto
intervalu konvexní (její první derivace je rostoucí).
Analogicky: Když má funkce jedné proměnné na nějakém otevřeném intervalu zápornou druhou derivaci,
je na tomto intervalu konkávní (její první derivace je klesající).

Uvedené implikace lze využít při vyšetřování průběhu funkce, ale nelze je obrátit.

Klasickou českou učebnicí na toto téma je Diferenciální počet I od Vojtěcha Jarníka.

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2019 10:49 — Editoval AterCZ (05. 01. 2019 10:50)

Vázané extrémy funkce dvou proměnných

#2 05. 01. 2019 11:09

Re: Vázané extrémy funkce dvou proměnných

#3 05. 01. 2019 11:16

Re: Vázané extrémy funkce dvou proměnných

#4 05. 01. 2019 12:11

Re: Vázané extrémy funkce dvou proměnných

Zápatí