Matematické Fórum

Kleanthés · 05. 01. 2019 18:15

Ahoj, koukám teď na důkaz jedné věty a nejsem si tím moc jistý.

Věta: Jestliže je derivace f'(x0) konečná, pak je funkce f spojitá v bodě x0.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-01/06715_dukaz.png

1) lim (f(x0 + h) - f(x0)) = ... = 0 kde h->0

Nemůžeme ihned rozhodnout, že tato limita je rovna nule, neboť nevíme, zda f(x0) je číslo (konečné)? Proto to děláme přes tu derivaci, neboť víme, že ta konečná je?

2) lim (f(x0 + h) - f(x0)) = 0 <=> lim f(x0 + h) = lim f(x0) = f(x0) kde h->0

Znamená limita v x0 je rovna funkční hodnotě v x0?

jarrro · 05. 01. 2019 18:34

$x_0$ je pevne zvolené číslo z definičného oboru (lebo sa predpokladá existencia derivácie) teda aj $f{$x_0$}$ je reálne číslo.
Dôkaz dokazuje, že $\lim_{h\to 0}{$f{\(x_0+h$}-f{$x_0$}\)}=0$
Teda, že $\lim_{h\to 0}{f{$x_0+h$}}=f{$x_0$}$
Teda, že $\lim_{x\to x_0}{f{$x$}}=f{$x_0$}$

vlado_bb · 05. 01. 2019 18:52

↑ Kleanthés: Este k tvojej hypoteze “neboť nevíme, zda f(x0) je číslo (konečné)?“

Vobec nie, vieme to velmi dobre. Ak predpokladame existenciu derivacie funkcie $f$ v bode, musi byt $f$ v tomto bode definovana.

Kleanthés

↑ jarrro:
Dobře, funkce zobrazuje číslo na číslo, tedy f(x0) je také číslo. Potom ale f(x0) - f(x0) = 0 a vidíme rovnou, že $\lim_{h\to 0}{$f{\(x_0+h$}-f{$x_0$}\)}=0$ , ne?

Takže proč je tam ta derivace? Z toho mi vyplývá, že ta derivace musí být konečná... A z toho zase ta spojitost...

Hele teď mi to začíná dávat smysl, když se na ten důkaz dívám zprava doleva.

Kleanthés · 05. 01. 2019 19:11

↑ vlado_bb:Tak tak, předtím jsem se do toho nějak zamotal. :D

jarrro · 06. 01. 2019 16:00 — Editoval jarrro (06. 01. 2019 16:01)

↑ Kleanthés:
Pri nekonečnej derivácii môže byť aj nespojitosť.
Napr. keď $f{$x$}=\mathrm{sign}{$x$}$ , tak
$f{$0$}=0\nl \lim_{h\to 0^{-}}{$f{\(0+h$}-f{$0$}\)}=-1\nl \lim_{h\to 0^{+}}{$f{\(0+h$}-f{$0$}\)}=1\nl f^{\prime}{$0$}=\infty$

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2019 18:15

Derivace - věta - jednoduchý důkaz

#2 05. 01. 2019 18:34

Re: Derivace - věta - jednoduchý důkaz

#3 05. 01. 2019 18:52

Re: Derivace - věta - jednoduchý důkaz

#4 05. 01. 2019 19:09 — Editoval Kleanthés (05. 01. 2019 19:10)

Re: Derivace - věta - jednoduchý důkaz

#5 05. 01. 2019 19:11

Re: Derivace - věta - jednoduchý důkaz

#6 06. 01. 2019 16:00 — Editoval jarrro (06. 01. 2019 16:01)

Re: Derivace - věta - jednoduchý důkaz

Zápatí