Matematické Fórum

Pomeranc

Ahoj,

mám problém s řešením diferenciálních rovnic.
Vezměme, že mám rovnici se separovanými proměnými. dy/dx = h(x)*g(y).

Určím singulární řešení. Rozdělím si to na intervaly I1,..In z hlediska x a J1,..Jn z hlediska y.
Upravím to, zintegruji to a pak nevím, jak mám provést diskuzi nebo se vypořádat s těmi absolutními
hodnotami, které tam občas vzniknou.

Je to tak, že vezmu J1 a I1, pak J1 a I2 atd.?

Dále se to řeší z hlediska toho, jak vypadá konstanta:
Vezměme si například, že mám rci:
$yy' = (1-2x)*(1/ y)$

Řešení je:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-01/16490_ODR.PNG

K tomu y jsem se dostala, ale vůbec nechápu závěr.

laszky · 05. 01. 2019 20:50

↑ Pomeranc:

Ahoj, rekl bych, ze problem je, kdyz y=0, potom totiz v puvodni rovnici delis nulou.

Pokud $c\in(-\infty,-1/4)$ , potom $x-x^2+c=c+1/4-(x-1/2)^2<0$ , takze $y<0$ pro kazde $x\in\mathbb{R}$ .

Pokud $c=-1/4$ , potom je $y(x)\neq0$ pro $x\in(-\infty,1/2)$ a $x\in(1/2,\infty)$ .

Pokud $c\in(-1/4,\infty)$ , potom existuji dva body $x_1$ a $x_2$ , pro ktere je $y(x_1)=y(x_2)=0$ a vzniknou proto 3 intervaly ;-)

Pomeranc · 05. 01. 2019 21:17

↑ laszky:

Děkuji, už to chápu :) .
Musíme vyhodit z celkového řešení případy, kdy y=0.
Vlastně je to řešení kvadratické rovnice s parametrem.

Ještě bych se vrátila k tomu prvnímu dotazu.
Mám třeba nějaké y, které mi vzniklo integrací a pak třeba 2 intevaly J a tři intervaly I.
Jak se dál postupuje v řešení?

Pomeranc

Pomeranc napsal(a):
↑ laszky:

Děkuji, už to chápu :) .
Musíme vyhodit z celkového řešení případy, kdy y=0.
Vlastně je to řešení kvadratické rovnice s parametrem.

Ještě bych se vrátila k tomu prvnímu dotazu.
Mám třeba nějaké y, které mi vzniklo integrací a pak třeba 2 intevaly J a tři intervaly I.
Jak se dál postupuje v řešení?

Vlastně konkrétní případ je tento:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-01/85197_ODR5.PNG

a řešení by mělo být toto:

k y jsem se dostala, ale pak opět neumím udělat ten rozbor.
K němu by se měly asi použít ty intervaly I a J, ale nevím, jak to udělat.

laszky · 06. 01. 2019 18:58

↑ Pomeranc:

Ahoj, rekl bych, ze v bodech $x=0$ a $x=4$ neexistuje $y'(x)$ , takze v techto bodech nesplnuje $y(x)=\pm k\sqrt[4]{\left|\frac{x}{x-4}\right|}$ diferencialni rovnici.
Reseni v tomto tvaru proto muze existovat jen na intervalech mezi temito body.
Naopak, kdyby pro nektery bod $x_0$ a nenulovou funkci $y$ platilo $y(x_0)=y'(x_0)=0$ , potom by slo v tomto bode $x_0$
"slepit" funkci $y$ s nulovou funkci $y_0\equiv0$