Matematické Fórum

skipii1234 · 05. 01. 2019 16:18

Ahoj,

probíráme Lebesgueův integrál atd. a dostali jsme se ke větě, která říká, že pokud je funkce spojitá skoro všude, je také měřitelná. Nikde jsem však nenašel žádný důkaz nebo aspoň intuitivní odvození, proč by to tak mělo být. Mohl byste mi někdo odvodit/vysvětlit, proč tomu tak je?
Děkuji

Učíme se dle poznámek profesora Josefa Málka.
Zavedení měřitelných funkcí máme na str. 10 zde (přes schodovité funkce, které máme zavedené výše ve stejném odkazu):
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~malek/ne … -1-3_n.pdf
A samotnou větu na str. 2 zde (Věta 3.11 bod 3):
http://www.karlin.mff.cuni.cz/~malek/ne … -4-6_n.pdf

laszky · 05. 01. 2019 16:42

↑ skipii1234:

Mozna by slo vyuzit tech prvnich dvou bodu a napsat spojitou funkci jako limitu posloupnosti funkci, o kterych vis, ze jsou meritelne ;-)

skipii1234 · 05. 01. 2019 18:18

↑ laszky:
Dobře, to dává smysl, ale můžu to udělat vždycky? Respektive dokážu vždycky rozložit spojitou funkci na posloupnost měřitelných funkcí?
Tím mi vznikají další otázky. Můžu to udělat vždy jen pro funkce spojité skoro všude nebo musí být spojité všude? Počítá se Dirichletova funkce jako spojitá skoro všude (pro ujasnění, jestli chápu spojitost skoro všude dobře)?

jardofpr · 07. 01. 2019 13:30

ahoj ↑ skipii1234:

verím že spojitá funkcia sa vždy dá aproximovať dokonca schodovitými funkciami
mal by existovať konštruktívny dôkaz, rovnako funkcia ktorá je spojitá skoro všade

pri zbežnom pozretí vy pred touto vetou preberáte len Peano-Jordanov objem a nemáte zadefinovanú mieru ako pojem,
merateľnú funkciu len ako limitu schodovitých funkcií, takže na overenie že je to tak máš pomerne málo nástrojov
k dispozícii

povedal by som že je to jednoduchšie keď je merateľná funkcia definovaná až keď sú definované merateľné množiny,
ale nie som na to úplný odborník takže ma možno niekto opraví

čo sa týka Dirichletovej funkcie tá je nespojitá všade, takže technicky aj "nespojitá skoro všade"
v žiadnom prípade nie je spojitá skoro všade lebo nie je spojitá v žiadnom bode

príklad funkcie ktorá je spojitá skoro všade môže byť napríklad taká ktorá má konečný počet bodov nespojitosti

alebo zložitejší príklad, $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ definovaná ako $f(x)=0$ pre iracionálne $x$ a $f(x)=\frac{1}{n}$ pre racionálne $x=\frac{m}{n}$ kde $m,n\in\mathbb{N}$ sú nesúdeliteľné

táto je spojitá vo všetkých iracionálnych bodoch, nespojitá len v racionálnych bodoch, t.j. na množine miery nula

Rumburak

↑ skipii1234:

Ahoj.

Když $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ je spojitá a $z \in \mathbb{R}$ , co můžeme říci o množinách

$\{x \in \mathbb{R} ; f(x) < z \}$ , $\{x \in \mathbb{R} ; f(x) > z \}$ ?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

V tom vidím (vedle příslušných definic) základní poznatek k dalším úvahám.

Pokud jde o studijní literaturu, pak bych doporučil Integrální počet II. od Vojtěcha Jarníka.

Rumburak

↑ skipii1234:
Dirichletova funkce není spojitá v žádném bodě. Možná si ji pleteš s funkcí Riemannovou, která
je spojitá v každém irracionálním bodě a tedy skoro všude.

Matematické Fórum

#1 05. 01. 2019 16:18

Funkce je spojitá => funkce je měřitelná.

#2 05. 01. 2019 16:42

Re: Funkce je spojitá => funkce je měřitelná.

#3 05. 01. 2019 18:18

Re: Funkce je spojitá => funkce je měřitelná.

#4 07. 01. 2019 13:30

Re: Funkce je spojitá => funkce je měřitelná.

#5 07. 01. 2019 14:22 — Editoval Rumburak (07. 01. 2019 14:59)

Re: Funkce je spojitá => funkce je měřitelná.

#6 08. 01. 2019 11:24 — Editoval Rumburak (08. 01. 2019 11:29)

Re: Funkce je spojitá => funkce je měřitelná.

Zápatí