Matematické Fórum

Peroplesk · 13. 01. 2019 18:58

Zadání:
Uvažme vektor, jehož souřadnice v bázi $[(1, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 1, 1)]$ jsou $(1, 3, -1)$ .
Jaké jsou jeho souřadnice v bázi $[(2, 1, 0), (2, 1, 2), (-1, 0, 1)]$ ?

Snažil jsem se ho řešit tak, že jsem si vytvořil soustavu tří rovnic, kam jsem vložil novou bázi a souřadnice v původní.

Nalezením proměnných v soustavě dojdu k tomu, že

Souřadnice tedy zapíšu jako
$(2, -3, 1)$

Avšak správná odpověď prý má být

Jak se dá dojít ke správnému výsledku?

U jiného příkladu jsem postupoval stejným způsobem a vyšel mi. A to u tohoto:
Uvažme vektor $u = (-3, 1, 5)$ ve standardní bázi $[(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)]$ .
Nalezněte souřadnice vektoru u v bázi $[(1, 1, -1), (1, -1, 1), (-1, 1, 1)]$ .

Vytvořím soustavu rovnic:

Hodnoty proměnných vyjdou takto:

Výsledek zapíšu jako
$(-1, 1, 3)$

A je to prý správně.

Proč mi to nevychází u toho předešlého?

laszky · 13. 01. 2019 19:04

↑ Peroplesk:

U toho druheho prikladu je totiz ta prvni baze kanonicka (standardni), a tedy:

$u=-3\cdot(1,0,0) + 1\cdot(0,1,0)+5\cdot(0,0,1) = (-3,1,5)$

U prvniho prikladu si musis nejdriv spocitat

$u=1\cdot(1,0,1) + 3\cdot(0,1,2)-1\cdot(1,1,1) = (0,2,6)$ ,

a pak postupovat dale ;-)

Peroplesk · 13. 01. 2019 19:47

↑ laszky:

Vypočítal jsem tedy u.
$u = 1 \cdot (1, 0, 1) + 3 \cdot (0, 1, 2) - 1 \cdot (1, 1, 1)$
$u = [(1 + 0 - 1), (0 + 3 - 1), (1 + 6 - 1)]$
$u = (0, 2, 6)$

Pak jsem upravil soustavu rovnic.

Avšak hodnoty proměnných jsou nyní:

Tedy $(-5, 10, 1)$ a opět špatně.

Nebo se má udělat ještě nějaký další krok?