Matematické Fórum

Roscelinius · 15. 01. 2019 12:59

Dobrý den,
zapisuji li matematickou reprezentaci přírodního zákona, dá se nějakým symbolem odlišit ekvivalenci, která vyjadřuje pouze formální úpravu od ekvivalence, která přidává novou (např. empiricky nabytou) informaci? Např. pro homogenní magnetické pole: $\nabla \cdot \vec{D}=\nabla \cdot \vec{D\varepsilon }=\nabla \cdot \vec{D \varepsilon _{0}\varepsilon _{r} }=\varrho _{Q}$
I když první dvě rovnítka mají také fyzikální obsah, vyjadřují především vlastnosti objektů a jejich formální souvislosti, třetí rovnítko reprezentuje podstatu Gaussova zákona elektrostatiky. Jsou nějaké možnosti jak tyto dvě ekvivalence odlišit? Především z didaktických důvodů při odvozování.
Děkuji
Petr

MichalAld · 15. 01. 2019 16:02

Možná by bylo pro začátek dobré odlišovat elektrické a magnetické pole (případně také elektrickou intenzitu a indukci). Takto to trochu nedává smysl (ani ten vzorec).

Roscelinius · 15. 01. 2019 16:59

Dobrý den,
zapisuji li matematickou reprezentaci přírodního zákona, dá se nějakým symbolem odlišit ekvivalenci, která vyjadřuje pouze formální úpravu od ekvivalence, která přidává novou (např. empiricky nabytou) informaci? Např. pro homogenní elektrické pole: $\nabla \cdot \vec{D}=\nabla \cdot \vec{E\varepsilon }=\nabla \cdot \vec{E \varepsilon _{0}\varepsilon _{r} }=\varrho _{Q}$
I když první dvě rovnítka mají také fyzikální obsah, vyjadřují především vlastnosti objektů a jejich formální souvislosti, třetí rovnítko reprezentuje podstatu Gaussova zákona elektrostatiky. Jsou nějaké možnosti jak tyto dvě ekvivalence odlišit? Především z didaktických důvodů při odvozování.
Děkuji
Petr

MichalAld · 15. 01. 2019 17:17

Já osobně o žádné takové možnosti nevím (že by byly dva druhy rovnítek). Takže se to musí psát tak, aby bylo zřejmé, co je fyzikální zákon a co jen odvozování/dosazování.

Podle mě je ale vždycky dobré vědět, z jakých předpokladů se vychází. A zrovna tohle je takový hezký příklad, na kterém to lze demonstrovat.

Že $\nabla \cdot \vec{E}= \frac {\varrho }{\epsilon_0}$ o tom není pochyb. Ale co je to vlastně to D, to většina lidí moc neví...

Naopak znám spoustu těch, kteří za základní fyzikální zákon považují

$\nabla \cdot \vec{D}= \varrho$

a z něj pak s pomocí "materiálové rovnice vakua" $\vec{D}= \epsilon_0 \vec{E}$ "odvodí" ten výchozí vztah...

KennyMcCormick

↑ Roscelinius:
Někdy se v učebnicích používá pro nevyhnutelnou rovnost (platnou z definice) $\equiv$ nebo $\stackrel{\text{def}}{=}$ , zatímco pro fyzikální rovnost (tj. fyzikální obdoba matematické věty) $=$ .

Tj. např.
$\omega\equiv\frac{\d\varphi}{\d t}$ nebo
$\omega\stackrel{\text{def}}{=}\frac{\d\varphi}{\d t}$ ,

zatímco např.
$\mathbf{K}=-\mathbf{grad}\,U$ .

Ale to není přesně ekvivalentní tomu, na co se ptáš.

Roscelinius · 16. 01. 2019 06:30

↑ KennyMcCormick:
Díky. S definicí je to snadné. Ale třeba u té Gaussovy věty elektrostatiky, souvislost mezi intenzitou a indukcí a vyjádření permitivity není problém definice ale vyjádření vlastnosti za specifických podmínek, což jsou ale problémy reprezentace reality, zatímco hlavní fyzikální obsah je až v uvedení do souvislosti s hustotou náboje.
První a druhá ekvivalence plynou z definic veličin a výchozích podmínek, zatímco třetí ne.

MichalAld · 16. 01. 2019 14:59

↑ Roscelinius:
No a jaká je teda definice elektrické indukce D ?

Roscelinius

↑ MichalAld:
$D \equiv \varepsilon_{0} E +P$
což pro lineární (homogenní) prostředí přechází ve známé
$D = \varepsilon E$
Nepotřebuji ale zkoušet z elektrostatiky (i když se přiznávám, že jsem se na začátku příspěvku upsal).

Je mi jasné, že souvislost mezi D a E není neempirická a těžko určitelná, ale formálně jednoduše vyjádřitelná - fyzikálně významné je až určení permitivity, resp. susceptibility. Hlavní fyzikální obsah Maxwellových rovnic je právě souvislost indukce, intenzity s nábojem.

Šlo mi jen o to, jestli je i nějaká slabší ekvivalence než identita.

MichalAld · 16. 01. 2019 15:45

↑ Roscelinius:
Chraň bůh, nechci nikoho zkoušet, jen mi to přijde zajímavé.

Protože existují i Maxwellky, které žádné indukce (ani D, ani H) neobsahují, a platí také, dokonce za obecnějších předpokladů (platí i v materiálech, nejen ve vakuu).

Roscelinius napsal(a):
↑ MichalAld:
což pro lineární (homogenní) prostředí přechází ve známé
$D = \varepsilon E$

Těch podmínek, aby to platilo, je více. Musí jít např. o izotropní prostředí, jinak je permitivita tenzorem (že vektor D nemíří do směru E). A musí jít také o statický případ, pro střídavá pole to také obecně neplatí.

Mě osobně třeba hrozně vadí, že se do vztahu mezi E a D nacpala i ta permitivita vakua. Vůbec se to nemuselo dělat. Indukci je stejně tak dobře možné definovat jako

$D \equiv E + \frac{P}{\varepsilon_0}$

Potom by bylo na první pohled jasné, že ve vakuu je prostě D = E, a nevyjadřuje to žádné "vlastnosti vakua".

Roscelinius · 16. 01. 2019 17:49

↑ MichalAld:
Pokud se nemýlím, tak i když je permitivita tenzorem vztah zůstává stejný a pokud jde o izotropii, je podle mě, schovaná právě v tom požadavku linearity. Ve střídavém poli vztah podle mého platí akorát se opět problematizuje permitivita.
Permitivity vakua se lze celkem snadno zbavit volbou jednotek. Mě se naopak líbí, že je tam ta permitivita explicitně vidět, ukazuje to krásně že vakuum není žádné nic :-D Osobně mám spíš trochu problém s tím jak je definované H vůči B a především s tím, že formálně nejsou obě pole formulovány analogicky, i vlnová rovnice by pak byla hezčí ;)
Nic z Toho ale neřeší můj problém.

Jsou nějaké odlišné typy ekvivalence nebo alespoň zápisy, které bych mohl na to ,co řeším použít? Asi jsem měl raději použít Indukční zákon, na kterém by byla ekvivalentní změna toku a nebo tok změny.

MichalAld · 16. 01. 2019 18:45

Roscelinius napsal(a):
↑ MichalAld:
Pokud se nemýlím, tak i když je permitivita tenzorem vztah zůstává stejný a pokud jde o izotropii, je podle mě, schovaná právě v tom požadavku linearity.

No pokud považuješ násobení maticí za "stejný vztah" jako násobení konstantou, tak ano.
Každopádně ta anizotropie může vést na docela netriviální důsledky, jako je optický dvojom

Isotropie s linearitou podle mě nesouvisí. Lineární materiály mohou být izotropní (pak je permitivita skalár) nebo anizotropní (potom je tenzor) - ale pořád je to lineární. V nelineárním případě by byla permitivita obecně nějakou funkcí E.

Ve střídavém poli vztah podle mého platí akorát se opět problematizuje permitivita.

Zase - pokud považuje aplikaci diferenciálního operátoru $a\frac{d}{dt}+b\frac{d^2}{dt^2}+...$ za násobení, tak ano.

MichalAld · 16. 01. 2019 18:49

Roscelinius napsal(a):
↑ MichalAld:
Mě se naopak líbí, že je tam ta permitivita explicitně vidět, ukazuje to krásně že vakuum není žádné nic :-D

No, to je ale přesně to, co je špatně. Vakuum možná není nic, ale s permitivitou dielektrik to absolutně nesouvisí. V tomto smyslu není vakuum žádný "speciální materiál".

Osvětlím později, teď nemám moc čas.

Roscelinius napsal(a):
Osobně mám spíš trochu problém s tím jak je definované H vůči B a především s tím, že formálně nejsou obě pole formulovány analogicky, i vlnová rovnice by pak byla hezčí ;)

Taky klidně osvětlím.

Nejlepší je začít Maxwelkami, které žádné H ani D neobsahují. Nakolik je pak vlnová rovnice hezčí nebo né nedokážu posoudit, ale aspoň jsou relativisticky invariantní (což ty s H a D už nejsou - jsou to vlastně takové zprzněné rovnice, aby se s nimi nám, technikům, lépe pracovalo)

Roscelinius napsal(a):
Nic z Toho ale neřeší můj problém.

To je mi jasné. Ale buď rád, že už máme aspoň vektory, Maxwell musel používat ještě kvaterniony...

MichalAld · 16. 01. 2019 23:41

Pokud jde o to D (el. indukci) - "správná Maxwellka" vypadá takto:

$\nabla \cdot \vec{E}= \frac {\varrho }{\epsilon_0}$

Platí vždcky, nejen ve vakuu, platí i v dielektrických materiálech. Jen je třeba vědět, že ta nábojová hustota $\rho$ zahrnuje všechny náboje, co se nám tam vyskytují. To je celý trik. Tu konstantu $\epsilon_0$ můžeme považovat za "vlastnost vakua" nebo za vlastnost elektromagnetické interakce, to je tak nějak jedno.

Dielektrika se vyznačují tím, že v el. poli dochází k jejich polarizaci. To znamená, že náboje se vychylují ze svých rovnovážných poloh, kladné jedním směrem, záporné druhým. Klidně si můžeme představit, že dielektrikum jsou malé ostrůvky vodivých materiálů, oddělené vakuem (takže nejsou propojeny). A v el. poli se náboje v těchto vodivých ostrůvcích přesouvají na jednu či druhou stranu.

Tím se dostáváme k vektoru polarizace P, což je vlastně hustota indukovaných dipólových momentů. Pokud je tahle hustota všude stejná, chová se materiál stále jako neutrální. Pokud se ale mění (typicky na okrajích dielektrika), tak se tam vytvoří indukovaný náboj, normální fyzický elektrický náboj.

Obecně platí pro tento náboj vztah $\rho_{ind} = -\nabla P$ , tedy hustota náboje je rovná divergenci vektoru polarizace.

Pokud tedy vezmeme tu originální, vždy platící rovnici

$\nabla \cdot \vec{E}= \frac {\varrho }{\epsilon_0}$

tak celkový náboj sestává z nábojů explicitně známých (také se jim někdy říká volné náboje) a z nábojů vzniklých při polarizaci dielektrika. Takže

$\nabla \cdot \vec{E}= \frac {\varrho_{vol} }{\epsilon_0}+\frac {\varrho_{ind} }{\epsilon_0}$

a když za nábojovou hustotu vytvořenou elektrostatickou indukcí dosadíme, tak

$\nabla \cdot \vec{E}= \frac {\varrho_{vol} }{\epsilon_0}-\frac {\nabla P }{\epsilon_0}$

což je to samé jako

$\nabla \cdot \vec{E}+\frac {\nabla P }{\epsilon_0}= \frac {\varrho_{vol} }{\epsilon_0}$

$\nabla (\vec{E}+\frac {P }{\epsilon_0})= \frac {\varrho_{vol} }{\epsilon_0}$

No a tu novou veličinu označíme jako D (mohlo by se to takto dělat, a bylo by to lepší)

$\nabla \vec{D}= \frac {\varrho_{vol} }{\epsilon_0}$

Z historických (a možná i jiných) důvodů se to dělá trochu jinak, nejdříve se udělá

$\nabla (\epsilon_0 \vec{E}+P )= \varrho_{vol}$

A jako indukce se označí závorka až teď. Takže:

$\nabla \vec{D}= \varrho_{vol}$

Takže to vypadá, jako že mezi intenzitou a indukcí ve vakuu je nějaký vztah, ale ten je tam jen proto, že se to takto nadefinovalo. Pak ještě nastoupí poslední úprava, že se u té nábojové hustoty přestane psát to "vol", a musí si to každý pamatovat, že v takto zapsané rovnici označuje $\rho$ jen explicitně známé (či volné) náboje.

A i když to vypadá krásně, ve skutečnosti jsme nic zázračného neudělali, jen jsme fyzikální veličinu P schovali do nefyzikální veličiny D, kteoru nelze nijak měřit.

Navíc takto definované D přímo evokuje myšlenku, že náboje vytvářejí pole D a skrze permitivitu materiálu z něj vzniká pole E. Což je ale úplný nesmysl.

Na druhou stranu, kdyby to k ničemu nebylo, tak se to nepoužívá - a ve speciálních případech, jež se vyznačují symetrií - například u válcového kondenzátoru nebo sférického kondenzátoru - dokážeme D určit z celkové hodnoty náboje, plochy dielektrika a symetrie (že je D v celém dielektriku stejné). E zase dokážeme určit z hodnoty napětí a tloušťky dielektrika. Takže dokážeme (v těchto speciálních případech) vztah mezi E a D změřit, a pak jej můžeme používat ve všech ostatních situacích.

Ale i v těch idealizovaných situacích, kdy je závislost D na E ta nejjednodušší možná, totiž $D = \epsilon E$ , udává nám hodnota $\epsilon$ ochotu vázaných nábojů nechat se polarizovat okolním el. polem. S permitivitou vakua to absolutně nesouvisí. Mechanismy polarizace mohou být rozličné, a většina z nich (i když né všechny) má svůj původ v kvantové mechanice.

Roscelinius · 17. 01. 2019 11:25

Izotropie je jedním z případů linearity. Myslím, že linearita je dostačující podmínkou ( už jenom proto, že jde o lineární závislost :-D ). Na permitivitu jako skalár se můžeme dívat jako na tenzor nultého řádu.

Kvantová teorie si rozhodně nemyslí, že by vakuum bylo nic, i když permitivita vakua je spíše vlastnost elektromagnetické interakce než vakua, to je pravda. Při běžné volbě jednotek vždy permitivita obsahuje permitivitu vakua jako konstantu, ať to popisuje vlastnost vakua a nebo vlastnost pole. Takže závislost D a E vždy souvisí s "permitivitou vakua".

Správná Maxwellova rovnice? Když dokážu popsat D bude správná i ta s D, záleží na vhodnosti reprezentace kterou zvolím a jestli v ní dokážu problém vyřešit.

Znovu opakuji, že se ptám na něco jiného příklad byl pouze ilustrativní. Kdybych chtěl vysvětlit principy polarizace, jistě bych se zeptal právě na to.

KennyMcCormick

Izotropie je jedním z případů linearity.

Jak to?

Lineární dielektrikum je $\mathbf{P}=\varepsilon_0\chi_e \mathbf{E}$ .

Jaká je definice izotropního dielektrika?

Kvantová teorie si rozhodně nemyslí, že by vakuum bylo nic, i když permitivita vakua je spíše vlastnost elektromagnetické interakce než vakua, to je pravda.

Existence všech rozměrových konstant v základních fyzikálních zákonech (a podle mě i ve všech ostatních) je pouze důsledkem naší volby jednotek.

Konkrétně empirický Coulombův zákon (pro silové působení $N$ nábojů) říká, že
$\mathbf{F}(\mathbf{r}_0)=kq_0\displaystyle\sum_{i=1}^N\frac{q_i}{|\mathbf{R}_{i0}|^2}\cdot\frac{R_{i0}}{|\mathbf{R}_{i0}|}$ a konstanta $k$ je čistě důsledek naší volby jednotek.

Permitivitu vakua $\varepsilon_0$ pak definujeme jako
$\varepsilon_0\equiv\frac1{4\pi k}$ .

Existence permitivity vakua o vakuu nic neříká; v době klasické fyziky zatím nevíš, že vakuum se dá polarizovat, nebo zda je/není prázdné.

Fundamentální konstanty s fyzikálním významem jsou ty bezrozměrné (např. konstanta jemné struktury), jsou to tyto konstanty, jejichž změna by měla za následek změnu fyzikálních zákonů. 🙂

Matematické Fórum

#1 15. 01. 2019 12:59

Rovnítko

#2 15. 01. 2019 16:02

Re: Rovnítko

#3 15. 01. 2019 16:59

Re: Rovnítko

#4 15. 01. 2019 17:17

Re: Rovnítko

#5 16. 01. 2019 04:12 — Editoval KennyMcCormick (16. 01. 2019 04:23)

Re: Rovnítko

#6 16. 01. 2019 06:30

Re: Rovnítko

#7 16. 01. 2019 14:59

Re: Rovnítko

#8 16. 01. 2019 15:32 — Editoval MichalAld (16. 01. 2019 15:37)

Re: Rovnítko

#9 16. 01. 2019 15:45

Re: Rovnítko

Roscelinius napsal(a):

#10 16. 01. 2019 17:49

Re: Rovnítko

#11 16. 01. 2019 18:45

Re: Rovnítko

Roscelinius napsal(a):

#12 16. 01. 2019 18:49

Re: Rovnítko

Roscelinius napsal(a):

Roscelinius napsal(a):

Roscelinius napsal(a):

#13 16. 01. 2019 23:41

Re: Rovnítko

#14 17. 01. 2019 11:25

Re: Rovnítko

#15 18. 01. 2019 01:21 — Editoval KennyMcCormick (18. 01. 2019 01:24)

Re: Rovnítko

Zápatí