Matematické Fórum

veadet · 23. 01. 2019 23:17

Dobry den rad by som poziadal o pomoc s prikladom, vobec neviem ako na to tak uvitam akukolvek pomoc, budem vdacny aj za radu.

Majme blokovu maticu $B=\begin{bmatrix}A&x\\y^T&\alpha \end{bmatrix}$ , kde $A_{ n \times n }$ je regularna, $x$ je stlpec, $y^T$ riadok a $\alpha$ skalar. Ukazte, ze plati:
a) det $\begin{bmatrix}A&x\\y^T&-1\end{bmatrix}=-det(A+xy^T)$

b) det $\begin{bmatrix}A&x\\y^T&0\end{bmatrix}=-y^T Adj(A)x$

jarrro · 24. 01. 2019 00:33

$\mathrm{det}{\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots & a_{1,n} & x_1\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots & a_{2,n} & x_2\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \cdots & a_{3,n} & x_3\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots & a_{n,n} & x_n\\ y_1 & y_2 & y_3 & \cdots & y_n & \alpha \end{pmatrix}}=\alpha\mathrm{det}{$A$}+\sum_{i=1}^{n}{$-1$^{n+k+1}y_{i}\sum_{j=1}^{n}{$-1$^{j+1}x_{j}\mathrm{det}{$A_{j,i}$}}}$

jardofpr

ahoj ↑ veadet:

a) môžeš použiť blokovú Gaussovu elimináciu = prenásobenie vhodnou maticou sprava,
prípadne si pozri niečo o Schurovom doplnku
potom ti stačí len poznať vlastnosť o determinante súčinu matíc

b) tiež sa dá jednoducho prenásobiť sprava vhodnou maticou (A je regulárna takže existuje inverzná)
+ rovnako využiť determinant súčinu matíc a vlastnosť $\mathrm{adj}(A)=\mathrm{det}(A)\cdot A^{-1}$

inak sa dá trochu komplikovanejšie priamo z definície ako naznačuje ↑ jarrro: vo svojom príspevku,
otázka je čo môžte použiť

veadet · 24. 01. 2019 09:16

jarrro napsal(a):
$\mathrm{det}{\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots & a_{1,n} & x_1\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots & a_{2,n} & x_2\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \cdots & a_{3,n} & x_3\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots & a_{n,n} & x_n\\ y_1 & y_2 & y_3 & \cdots & y_n & \alpha \end{pmatrix}}=\alpha\mathrm{det}{$A$}+\sum_{i=1}^{n}{$-1$^{n+k+1}y_{i}\sum_{j=1}^{n}{$-1$^{j+1}x_{j}\mathrm{det}{$A_{j,i}$}}}$

a odtialto sa ako dostaneme k tomu vysledku v acku?

veadet · 24. 01. 2019 09:52 — Editoval veadet (24. 01. 2019 09:52)

$\mathrm{det}{\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots & a_{1,n} & x_1\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots & a_{2,n} & x_2\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \cdots & a_{3,n} & x_3\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots & a_{n,n} & x_n\\ y_1 & y_2 & y_3 & \cdots & y_n & 0 \end{pmatrix}}=0\cdot\mathrm{det}{$A$}+\sum_{i=1}^{n}{$-1$^{n+k+1}y_{i}\sum_{j=1}^{n}{$-1$^{j+1}x_{j}\mathrm{det}{$A_{j,i}$}}}=$
$=\sum_{i=1}^{n}{$-1$^{n+k+1}y_{i}\sum_{j=1}^{n}{$-1$^{j+1}x_{j}\mathrm{det}{$A_{j,i}$}}}$
a teraz neviem dalej co s tym

jarrro · 24. 01. 2019 21:50

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Matrix_ … nant_lemma

Matematické Fórum

#1 23. 01. 2019 23:17

Blokova matica

#2 24. 01. 2019 00:33

Re: Blokova matica

#3 24. 01. 2019 00:41 — Editoval jardofpr (24. 01. 2019 00:49)

Re: Blokova matica

#4 24. 01. 2019 09:16

Re: Blokova matica

jarrro napsal(a):

#5 24. 01. 2019 09:52 — Editoval veadet (24. 01. 2019 09:52)

Re: Blokova matica

#6 24. 01. 2019 21:50

Re: Blokova matica

Zápatí