Matematické Fórum

veadet · 24. 01. 2019 10:28 — Editoval veadet (25. 01. 2019 10:48)

Dobry den pomoze mi prosim vas niekto s prikladom najst determinant.

Najdite hodnotu determinantu n x n matice
$A=\mathrm{\begin{pmatrix} 1+a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} &\\ a_{1} & 1+a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} \\ a_{1} & a_{2} &1+ a_{3} & \cdots & a_{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & 1+a_{n} \\ \end{pmatrix}}$

Pomoze niekto?

Rumburak

↑ veadet:
Ahoj.

Matice závisí na přirozeném čísle $n$ , oznašme ji $A_n$ . Hledal bych vztah mezi determinanty matic $A_n, A_{n-1}$ .

Také exxistuje věta o tom, jak to dopadne, když k některému řádku přičtemo lin. kobinaci řádků ostatních.

veadet · 24. 01. 2019 11:28 — Editoval veadet (24. 01. 2019 11:29)

tu vetu nepoznam, mohli by ste mi ju prosim napisat?
ale v tomto pripade myslim ze nebudeme pripocitavat k riadku ale ku hlavnej diagonale

Honzc · 24. 01. 2019 11:30 — Editoval Honzc (27. 01. 2019 07:26)

↑ veadet:
Nebo zkus matici převést na trojúhelníkový tvar (je to jednoduché - je to hned vidět)
Pak hodnota determinantu je rovna násobku čísel na hlavní diagonále.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 24. 01. 2019 11:31

Ahoj ↑ veadet:,
Navod.
Odpocitaj prvy riadok odstatnych.

veadet · 24. 01. 2019 11:35

aha jasne uz to vidim .. det bude jedna .. diki moc vsetkym

Rumburak · 24. 01. 2019 11:40

↑ veadet:

Když k vybranému řádku determinantu přičteme lin. kombinaci řádků ostatních, hodnota determinantu
se tím nezmění.
Konkretněji: hodnotata determinantu se nezmění, když od druhého řádku odečteme řádek první.

veadet · 24. 01. 2019 12:23 — Editoval veadet (25. 01. 2019 10:49)

ale aj tak to nevychadza

veadet · 25. 01. 2019 10:52 — Editoval veadet (25. 01. 2019 10:53)

a aky bude vztah medzi $A_n, A_{n-1}$ a ako nam to pomoze? som to skusal do zosita aked sa urobi rozdiel tych dvoch matic tak dostaneme len stlpec celkom napravo a dolny riadok ale neviem co s tym dalej

Rumburak

↑ veadet:

Máme tedy matici

$A=\mathrm{\begin{pmatrix} 1+a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} &\\ a_{1} & 1+a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} \\ a_{1} & a_{2} &1+ a_{3} & \cdots & a_{n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & 1+a_{n} \\ \end{pmatrix}}$ .

Odečteme-li její prvmí řádek od řádků ostatních, dostaneme matici

$B=\mathrm{\begin{pmatrix} 1+a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} &\\ -1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 0 &1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ -1 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix}}$ ,

jejíž determinant je roven determinantu matice $A$ .

Co vyjde, když k prvnímu sloupci matice $B$ přičteme postupně sloupce ostatní ?

veadet · 25. 01. 2019 11:57

no vsade budu v tom prvom stlpci nuly okrem prveho miesta, tam dostaneme $1+\sum_{i=1}^{n}a_i$

Rumburak

↑ veadet:

Ano. Uvedeným postupem se toto číslo dostane na posici prvního čísla v prvním sloupci,
zatímco na ostatních posicích v prvním sloupci budou nuly.
Tento determinant rozvineme podle prvního sloupce a snadno dostaneme výsledek.

veadet · 25. 01. 2019 13:31 — Editoval veadet (25. 01. 2019 13:32)

ale ako to ze je to vysledok? ved mame v prvom riadku este hodnoty dalsie $a_2,a_3, ...,a_n$ a na diagonale su jednicky. Netreba ten determinant nejakym vypoctom este dopocitat?

Rumburak

↑ veadet:
Svoji předchozí odpověď jsem mezitím ještě trochu doplnil, snad už to bude jasné.

veadet · 25. 01. 2019 14:09

no .. ja viem rozvinut iba ked ide o maticu 4x4 ale toto je vo vseobecnosti, moze byt lubovolne velka, nie je to problem?

Rumburak

↑ veadet:
Věta o rozvoji determinantu podle zvoleného řádku (či analogicky podle zvoleného sloupce) platí obecně -
bez ohledu na stupeň determinantu.

veadet · 25. 01. 2019 14:21

takze staci to rozvinut podla prveho riadku?

Rumburak · 25. 01. 2019 14:33

↑ veadet:

Já bych rozvíjel determinant z příspěvku v ↑ Rumburak: podle prvního SLOUPCE.

veadet · 25. 01. 2019 14:35 — Editoval veadet (25. 01. 2019 14:36)

takze mam maticu

$\begin{pmatrix} 1+\sum_{i=1}^{n}a_i & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} &\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 &1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix}$

a ked to rozviniem podla prveho stlpca tak jediny nenulovy prvok vide nasobkom prveho clena lebo vsetko ostatne su nuly, teda vysledok je $1+\sum_{i=1}^{n}a_i$

Rumburak · 25. 01. 2019 14:41

↑ veadet:
Ano, to je výsledek - hodnota determinantu matice $A$ z příspěvku ↑ veadet: .

veadet · 25. 01. 2019 15:12

jo tak diki moc :)

Matematické Fórum

#1 24. 01. 2019 10:28 — Editoval veadet (25. 01. 2019 10:48)

hodnota determinantu matice

#2 24. 01. 2019 11:02 — Editoval Rumburak (24. 01. 2019 11:11)

Re: hodnota determinantu matice

#3 24. 01. 2019 11:28 — Editoval veadet (24. 01. 2019 11:29)

Re: hodnota determinantu matice

#4 24. 01. 2019 11:30 — Editoval Honzc (27. 01. 2019 07:26)

Re: hodnota determinantu matice

#5 24. 01. 2019 11:31

Re: hodnota determinantu matice

#6 24. 01. 2019 11:35

Re: hodnota determinantu matice

#7 24. 01. 2019 11:40

Re: hodnota determinantu matice

#8 24. 01. 2019 12:23 — Editoval veadet (25. 01. 2019 10:49)

Re: hodnota determinantu matice

#9 25. 01. 2019 10:52 — Editoval veadet (25. 01. 2019 10:53)

Re: hodnota determinantu matice

#10 25. 01. 2019 11:47 — Editoval Rumburak (25. 01. 2019 14:07)

Re: hodnota determinantu matice

#11 25. 01. 2019 11:57

Re: hodnota determinantu matice

#12 25. 01. 2019 13:25 — Editoval Rumburak (25. 01. 2019 14:11)

Re: hodnota determinantu matice

#13 25. 01. 2019 13:31 — Editoval veadet (25. 01. 2019 13:32)

Re: hodnota determinantu matice

#14 25. 01. 2019 13:42 — Editoval Rumburak (25. 01. 2019 13:51)

Re: hodnota determinantu matice

#15 25. 01. 2019 14:09

Re: hodnota determinantu matice

#16 25. 01. 2019 14:14 — Editoval Rumburak (25. 01. 2019 14:16)

Re: hodnota determinantu matice

#17 25. 01. 2019 14:21

Re: hodnota determinantu matice

#18 25. 01. 2019 14:33

Re: hodnota determinantu matice

#19 25. 01. 2019 14:35 — Editoval veadet (25. 01. 2019 14:36)

Re: hodnota determinantu matice

#20 25. 01. 2019 14:41

Re: hodnota determinantu matice

#21 25. 01. 2019 15:12

Re: hodnota determinantu matice

Zápatí