Matematické Fórum

Nika01 · 14. 01. 2019 10:47

Ahoj, snažím se vyřešit tento úkol, ale jsem bezradná :/
Je možné sestrojit v rovině množinu vzájemně se neprotínajících se písmen T mohutnosti kontinua? A písmen N?

Napadlo mě, že když T vepíšu do trojúhelníka, tak aby každá nožička protínala jednu stranu trojúhelníka a dám pravidlo, že se nesmí trojúhleníky dotýkat pak je úkol vyřešen. To stejné bych udělala i s písmenem N, které bych vepsala do čtverce. Bohužel jsem pouze převedla problém neprotínajících se písmen na neprotínající se trojúhelníky/čtverce a nevím co s tím.
Děkuji za jakoukoli radu :)

Rumburak

↑ Nika01:
Ahoj.

Otevřený čtverec v rovině opatřené kartéskou soustavou souřadnic můžeme vnímat jako kartéský součin

(1) $C(a,b,\delta) = (a, a+\delta) \times (b, b+\delta)$ , kde $a, b \in \mathbb{R}, \delta > 0$ .

Každému ze čtverců (1) pevně přiřaďme nějakou uspořádanou dvojici $[r, s]$ racionálních čísel, která je v něm
obsažena. Že takové zpbrazení exitsuje, plyne jednak z faktu, že každý otevřený interval obsahuje rac. číslo,
a jednak z axiomu výběru.

Předpokládejme navíc, že uvažované čtverce (1) jsou voleny tak, aby byly po dvou disjunktní. Potom příslušné
usp. dvojice $[r, s]$ budou navzájem různé, tudíž jich bude nejvýše spočetně mnoho (jak plyne z faktu, že
množina $\mathbb{Q}$ všech racionálních čísel je spočetná, při čemž tuto vlastnost nutně má i množina $\mathbb{Q} \times\mathbb{Q}$ ).

Odtud je k řešení Tvého problému už jen krůček.
EDIT. V tomto úsudku jsem se poněkud unáhlil.

Nika01 · 14. 01. 2019 17:13

Chápu-li to dobře pak ctverec je zadán 8 racionálními čísly a to je spočetné, takže množina čtverců je spočetná a tím i množina písmen N?

Takže u písmene T, si také řeknu že mám trojújelník v rovině opatřený kartéskou soustavou souřadnic. Každému trojuhelníku přiřadím uspořádanou dvojici $[x, y]$ , tak aby trojuhelníky byly disjunktní. Tím pádem je trojuhelník zadán 6 racionálními čísly (ty vrcholy) a to je spočetné, pak je spočetná množina trojuhelníků a tím pádem i písmen T. ?

Rumburak

↑ Nika01:

Jak je to s písmenem T, jsem ještě spolehlivě nerozluštil, avšak připadá mi, že to dopadne stejně jako
s těmi čtverci.

Pokusím se ukázat, jak by to bylo s písmenem L.

Základní polohou písmene L nazvěme množinu

$L_0 = (\langle 0, 1 \rangle \times \{0\}) \cup (\{0\} \times (0, 1 \rangle )$

(doporučuji nakreslit si obrázek). Tuto množinu můžeme libovolně posunovat ve směru vektoru $(1,1)$ ,
čímž získáme množiny

(1) $L_r = L_0 + r(1,1)$ ,

kde $r$ probíhá množinu všech reálných čísel (co je míněno zápisem (1), je snad jasné).
Množiny (1) jsou po dvou disjunktní a tvoří soubor mohutnosti kontinua. Zauvažuj, zda by se něco takového
nedalo udělat s písmenem N.

check_drummer

Ahoj. Měl bych zajímavou hypotézu - pokud je ten zkoumaný útvar "čára", která se "větví" (nedefinuju přesně co to znamená, ale asi je to jasné), tak existuje v rovině jen spočetně mnoho jejích disjunktních kopií (včetně jejich zmenšení). Nevím, jestli to platí, ale pokud ano, tak klíč bude v okolí bodu větvení...

jardofpr

ahojte

možno cesta? kedysi som niečo podobné riešil, v skratke:

1.) predpoklad že existuje nespočítateľná množina disjunktných $T$ -čok v rovine

2.) pre každé $T$ z tejto množiny existuje štvorec s racionálnou dĺžkou strany a s racionálnym stredom
tak že toto $T$ z neho trčí von kolmo cez tri jeho strany
trojice racionálnych čísel sú spočítateľné takže musí byť pre nejakú jednu konkrétnu trojicu
štvorec ktorý patrí k nespočítateľne veľa $T$ -čkam

3.) $T$ -čko rozdeľuje štvorec na 3 oblasti, v každej z nich existuje bod s racionálnymi súradnicami
potom pre nejakú trojicu bodov s racionálnymi súradnicami je nespočítateľne veľa $T$ ktoré
rozdeľujú štvorec na také tri oblasti že v každej je jeden z týchto troch bodov

4.) teraz sa ukáže že ak sú len dve také rôzne $T$ tak sa vnútri štvorca pretnú

↑ check_drummer: tiež neviem či to platí ale vidím to podobne, akonáhle sa z toho nedá urobiť
úsečka ale je to niečo "komplikovanejšie" - t.j. s vetvením ako píšeš;
intuitívne toto isté nevieme urobiť so znakmi bez "vetvenia", lebo tieto vieme k sebe uložiť "ľubovoľne blízko",
podobne ako urobil ↑ Rumburak: v jeho príspevku

Rumburak

↑ jardofpr:
Také zdravím.
Zamyslet se nad tím intuitivně není těžké, ale dát tomu nějakou obecně platnou formální stránku už bude horší.
Aby bylo možno získat nespočetně mnoho navzájem disjunktnách kopií, nesmí se originál větvit ani sám sebe
protínat, jak se zdá. Ale je otázka, zda to stačí. Oriinál nejspíš ani nesmí mít "příliš mnoho zatáček". Kompletní
vyřešení problému bych prozatím viděl na Abelovu cenu. :-).

Nika01 · 16. 01. 2019 11:55

↑ Rumburak:
Teorii množin absolutně nerozumím, ale snad jsem to pochopila z toho písmene L :)
Takže u písmene N, to dám do čtverce v rovině opatřeném kartéskou soustavou souřadnic:
$C(a,b,\delta) = (a, a+\delta) \times (b, b+\delta)$ , kde $a, b \in \mathbb{R}, \delta > 0$ .
A tuto množinu můžu libovolně posunovat tak jak u písmena L?
Akorát si nejsem jisá tím posunutím, prvně jsem si říkala, že by to mohlo být $r.(\delta ,\delta )$ ale to by pak nebyly disjunktní ne? tak jsem uvažovala že kdybych dala, že r se nesmí rovnat 1, pak by se to nepotkalo.
takže bych ta množina vypadala: $Cr= C(a,b,\delta ) + r.(\delta ,\delta ) , r\in R\setminus {1}$
nebo určit místo $\delta$ něco jiného, pro něž platí $\varepsilon >\delta >0$ .

S tím písmenem T, stále nevím. V knize Vilenkin-Vyprávění o množinách je prý návod ae nepobírám to :/ každopádně je to přes trojuhelníky.

Rumburak

↑ Nika01:
Jednodušší by bylo postavit to základní "N" poněkud šikmo, např. jako lomenou čáru ABCD,
kde A= [0, 0], B = [1,2], C = [2,0], D = [3,2], a celek pak posouvat ve směru osy y, tj. přičítáním
vektoru $r(0, 1)$ , kde $r$ by probíhalo množinu všech reálných číslel.

Ještě poznámka: I když zde pracujeme s množinami (což ostatně činíme i v ostatních oblastech
matematiky), do teorie množin bych tyto problémy nezařazoval. Podle mne spadají spíše do
geometrie či do matematické analýzy nebo topogie.

PS. Ten postup podle oné knihy by mne docela zajímal.

Nika01 · 16. 01. 2019 17:37

↑ Rumburak:
pokud postavím to N šikmo, tak pak už nepoužívám ty čtverce, cos mi radil hned na začátku nebo ano?
když to nechám teda jako šikmé, pak by ta množina byla $Cr= C(a,b,\delta ) + r.(0,1)$ ?

tady je odkaz na tu knihu, patří to pod kapitolu Osmičky v rovině a je to na straně 90-92
https://1url.cz/@vilenkin

Rumburak

↑ Nika01:
Možná si nerozumíme. Jde o to, že existují 2 situace:

První situace - např. s písmeny L , V, W, Z, N - se vyznačuje tím, že kopii disjunktní s originálem
můžeme dostat posunutím originálu (ve vhodném směru) již o libovolně malou délku.
Ta "šikmost" je tam proto, aby byl jednodušší vektor posunutí. Mohli bychom "šikmost" nepožadovat,
ale pak bychom museli vzít složitější (tj. patřičně "šikmý") vektor posunutí - například u písmen L, N.

Ve druhé situaci - s písmeny A, B, K, P, H , O a j. nebo se čtvercem - už libovolně malá délka posunutí
ke získání disjunktní kopie nestačí (v žádném směru). Ten příklad od Tebe ještě projdu.

Do té knížky se rád podívám . :-)

Nika01 · 17. 01. 2019 20:57

↑ Rumburak:
Díky, myslím, že mi tohle ujasnilo problém :)
Takže písmeno N napíšu jako lomenou čáru L, která se skládá z vrcholů písmene N (vrchol A,B,C,D), pak množina prvního písmene N je: $L=\{A,B,C,D\} kde A=[0,0] B=[1,2] C=[2,0] D=[3,2]$ Posunutím o vektor $r.(0,1)$ kde $r\in R$ vznikne množina všech neprotínajících se písmen N, která lze zapsat $Lr=L+ r.(0,1)$ Je to takhle správně?
K tomu písmenu T, kdybych to dala do rovnostranného trojúhleníku o straně $a$ , a posunu to o vektor (a,0) tak se trojuhleníky nepotkají ne? Akorát si lámu hlavu jak zapsat rovnostranný trojúhelník do jako nějakou množinu v kartézském souřadnicovém systému.

Rumburak

↑ Nika01:

To s písmenem N je správně. Důležité při tom je, že

1) "počet" všech takto získaných množin $L_r$ je roven "počtu" všech reálných čísel
(odborně říkáme, že množina $\{L_r ; r \in \mathbb{R}\}$ má mohutnost kontinua) ,

2) pro dvě různá reélná $r, s$ , ať jsou jakkoliv blízká , je $L_r \cap L_s = \emptyset$ .

Pro písmeno T můžeme analogickou konstrukcí zajistit splnění podmínky 1, ale nikdy nezajistíme
splnění podmínky 2.

Příkladem z praxe jsou plastové kelímky na limonádu ve tvaru komolého kužele, jemuž chybí
větší podstava, které můžeme nejefektivněji poskládat tím, že vložíme jeden do druhého.
Pokud by tyto kelímky měly "ucho", pak by to nešlo.

Nika01 · 20. 01. 2019 21:41

↑ Rumburak:
to znamená, že neexistuje množina všech neprotínajících se T?

Rumburak · 22. 01. 2019 10:19

↑ Nika01:
Přesněji:
Množina neprotínajících se T sice existuje, avšak ne taková, aby měla mohutnost kontinua.
Je to dáno tím, že dvě různá T nelze k sobě přiblížit dostatečně úsporně (tj. zcela těsně ) -
vždy bude mezi nimi nějaká nevyužitá část plochy ve tvaru otevřené množiny.

check_drummer · 25. 01. 2019 18:32

Rumburak napsal(a):
↑ Nika01:
Je to dáno tím, že dvě různá T nelze k sobě přiblížit dostatečně úsporně (tj. zcela těsně ) -
vždy bude mezi nimi nějaká nevyužitá část plochy ve tvaru otevřené množiny.

Ahoj, no ono to platí i třeba pro písmeno L - ať zvolíš dvě libovolná, vždy se mezi ně vejde otevřená množina, spíš by bylo lepší to popsat třeba tak, že u T neexisuje spojitá trasnformace převádějící jedno T na druhé taková, že všechny "meziútvary" T jsou disjunktní.

Rumburak · 28. 01. 2019 10:36

↑ check_drummer:

To je vlastně pravda. Vyjádřit to pomocí té spojité transformace mne bohuřžel nenapadlo.

Ciarra98 · 31. 01. 2021 18:07

V případě, že bych místo písmen měla kružnice, tak by šlo sestrojit v rovině množinu vzájemně se neprotínajících kružnic mohutnosti kontinua?

vlado_bb · 31. 01. 2021 19:58

↑ Ciarra98: $K=\{k_a; k_a = \{ [x,y]; x^2+y^2=a^2\}, a > 0\}$

Matematické Fórum

#1 14. 01. 2019 10:47

Teorie množin

#2 14. 01. 2019 15:07 — Editoval Rumburak (16. 01. 2019 12:45)

Re: Teorie množin

#3 14. 01. 2019 17:13

Re: Teorie množin

#4 15. 01. 2019 11:08 — Editoval Rumburak (15. 01. 2019 13:22)

Re: Teorie množin

#5 15. 01. 2019 18:45 — Editoval check_drummer (15. 01. 2019 18:45)

Re: Teorie množin

#6 15. 01. 2019 19:21 — Editoval jardofpr (15. 01. 2019 20:24)

Re: Teorie množin

#7 16. 01. 2019 11:02 — Editoval Rumburak (16. 01. 2019 11:04)

Re: Teorie množin

#8 16. 01. 2019 11:55

Re: Teorie množin

#9 16. 01. 2019 14:02 — Editoval Rumburak (17. 01. 2019 11:32)

Re: Teorie množin

#10 16. 01. 2019 17:37

Re: Teorie množin

#11 17. 01. 2019 12:35 — Editoval Rumburak (17. 01. 2019 15:04)

Re: Teorie množin

#12 17. 01. 2019 20:49 Příspěvek uživatele Nika01 byl skryt uživatelem Nika01. Důvod: nedopasný příspěvek

#13 17. 01. 2019 20:57

Re: Teorie množin

#14 18. 01. 2019 11:33 — Editoval Rumburak (18. 01. 2019 11:40)

Re: Teorie množin

#15 20. 01. 2019 21:41

Re: Teorie množin

#16 22. 01. 2019 10:19

Re: Teorie množin

#17 25. 01. 2019 18:32

Re: Teorie množin

Rumburak napsal(a):

#18 28. 01. 2019 10:36

Re: Teorie množin

#19 31. 01. 2021 18:07

Re: Teorie množin

#20 31. 01. 2021 19:58

Re: Teorie množin

Zápatí