Matematické Fórum

veadet · 26. 01. 2019 00:21 — Editoval veadet (26. 01. 2019 00:28)

Ahojte pomozete mi s jednou dalsou maticou? Mam vypocitat determinant .. skusam to ale nejak mi to stale nechce vynst dobre

Najdite determinant $(n+1)$ krat $(n+1)$ matice.
$A=\mathrm{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 &\\ 1 & a_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 &a_{2} & \cdots &0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & a_n \\ \end{pmatrix}}$

laszky · 26. 01. 2019 00:45

↑ veadet:

Ahoj, oznacim-li determinant te tve matice $D_n$ , vychazi mi rekurence

$D_n=a_nD_{n-1}-a_1a_2\dots a_{n-1}$ .

(Odvodi se rozvojem determinantu podle posledniho radku a nasledne posledniho sloupce)

Z toho uz to myslim vymyslis ;-)

veadet · 26. 01. 2019 00:50

pardon ale akosi som nepochopil vobec ze o com pisete

laszky · 26. 01. 2019 00:55 — Editoval laszky (26. 01. 2019 00:57)

↑ veadet:

$D_1=\det \begin{pmatrix}0&1\\1&a_1\end{pmatrix}$

$D_2=\det \begin{pmatrix}0&1&1\\1&a_1&0\\1&0&a_2\end{pmatrix}$

$D_n=\det A = \det\mathrm{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 &\\ 1 & a_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 &a_{2} & \cdots &0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & a_n \\ \end{pmatrix}}$

Udelas-li rozvoj determinantu te matice A podle posledniho radku, ziskas

$D_n=a_nD_{n-1}-a_1a_2\dots a_{n-1}$

Z toho lze odvodit explicitni vztah pro $D_n$ .

veadet · 26. 01. 2019 01:00

aha no jasne takze bude platit
$D_n=a_nD_{n-1}-a_1a_2\dots a_{n-1}$
to je ten explicitny vztah ci este nejako inak sa to da zapisat?

laszky · 26. 01. 2019 01:04

↑ veadet:

Ten je rekurentni, ptz $D_n$ zavisi na $D_{n-1}$ .
Ty potrebujes odvodit vztah, kde $D_n$ zavisi jen na $a_1,a_2,\dots,a_n$ .
K tomu vyuzij ten rekurentni vztah a znalost $D_1$ ;-)

veadet · 26. 01. 2019 01:06 — Editoval veadet (26. 01. 2019 01:09)

no myslim ze $det(D_1)=-1$ a dokonca myslim ze podla sarusovho pravidla $det(D_2)=-a_1$ ale to neviem ci nam nejako pomoze, pre $D_n$ neviem ako to bude

laszky · 26. 01. 2019 01:11

↑ veadet:

$D_1$ je uz ten determinant, takze $D_1=-1$ a $D_2=-a_1-a_2$ ;-)

Zkus podle toho rekurentniho vztahu pro $D_n$ spocitat jeste $D_3$ a $D_4$ .

veadet · 26. 01. 2019 01:13 — Editoval veadet (26. 01. 2019 01:15)

tak myslim ze $D_3=-a_1-a_2-a_3$ a $D_4=-a_1-a_2-a_3-a_4$ (aj ked mi nie je uplne jasne preco)

takze myslim ze plati: $D_n=-a_1-a_2- ... - a_n$

laszky · 26. 01. 2019 01:15

↑ veadet:

$D_3 = a_3D_2-a_1a_2 = a_3(-a_1-a_2)-a_1a_2=-(a_1a_3+a_2a_3+a_1a_2)$

veadet · 26. 01. 2019 01:17 — Editoval veadet (26. 01. 2019 01:18)

aha takze myslim ze plati
$D_4=a_4D_3-a_1a_2-a_2a_3$
a tiez
$D_5=a_5D_4-a_1a_2-a_2a_3-a_3a_4$ ale nie som si isty

laszky · 26. 01. 2019 01:18

↑ veadet:

Vzorecek je $D_n=a_nD_{n-1}-a_1a_2\dots a_{n-1}$

Kdyz $n=4$ , pak $D_4=a_4D_3-a_1a_2a_3$ ;-)

veadet · 26. 01. 2019 01:19 — Editoval veadet (26. 01. 2019 01:22)

aha jasne .. myslel som si ze tam budem mat nejaku chybu .. ale myslim ze pre $D_n$ plati
$D_n=a_nD_{n-1}-a_1a_2...a_{n-1}$ no vlastne to bolo na zaciatku, otazka je asi ze ako odstranit to $D_{n-1}$ z toho vzorca

laszky · 26. 01. 2019 01:26 — Editoval laszky (26. 01. 2019 01:27)

↑ veadet:

Presne ;-)

Postup je (napr.) takovy, ze spocitas $D_1$ , $D_2$ , $D_3$ a treba i $D_4$ , z toho "uhodnes", jak asi bude vypadat vztah pro obecne $D_n$ a nasledne to (s vyuzitim toho rekurentniho vztahu) dokazes indukci (jde to lehce).

veadet · 26. 01. 2019 01:30 — Editoval veadet (26. 01. 2019 01:31)

fuha .. tak mne sa to moc lahne nezda .. ale tak skusim to
$D_1=-1$ to je lahke
$D_2=-a_1-a_2$ to sme si uz tiez povedali
teraz vypocitam D3 to bude
$D_3 = a_3D_2-a_1a_2=a_3(-a_1-a_2)-a_1a_2= (a_3-1)(-a_1-a_2)$ takze to bude nejaky sucin?
$D_4=a_4D_3-a_1a_2a_3=a_4((a_3-1)(-a_1-a_2))-a_1a_2a_3$ to mi uz vychadza akosi komplikovane

laszky · 26. 01. 2019 01:31

↑ veadet:

$D_3$ jsem psal uz vyse ↑ laszky:

veadet · 26. 01. 2019 01:33 — Editoval veadet (26. 01. 2019 01:34)

aha ok takze
$D_3=-(a_1a_3+a_2a_3+a_1a_2)$
a teda dostavame
$D_4=a_4D_3-a_1a_2a_3=a_4(-(a_1a_3+a_2a_3+a_1a_2))-a_1a_2a_3$
len co s tym dalej .. ja tam nevidim stale ziadny vztah

laszky · 26. 01. 2019 01:36

$D_4=a_4D_3-a_1a_2a_3=a_4(-(a_1a_3+a_2a_3+a_1a_2))-a_1a_2a_3=- (a_1a_3a_4+a_2a_3a_4+a_1a_2a_4+a_1a_2a_3)$

veadet · 26. 01. 2019 01:39 — Editoval veadet (26. 01. 2019 01:39)

aha no jasne uz tam je nejaka podobnost ... to budu vlastne vsetky tie 3-prvkove kombinacie tych prvko $a_1,a_2,a_3,a_4$ v tej zatvorke?

laszky · 26. 01. 2019 01:41 — Editoval laszky (26. 01. 2019 01:41)

↑ veadet:

jj, spravne

$D_n=-\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}\prod_{j=1}^na_j$

veadet · 26. 01. 2019 01:42 — Editoval veadet (26. 01. 2019 01:42)

aha no jo, toto som myslel len som to tak nevedel zapisat ... tak diki

laszky · 26. 01. 2019 01:43

↑ veadet:

Akorat to jeste neni dukaz, spravne ted jeste musis udelat tu matematickou indukci ;-)

veadet · 26. 01. 2019 01:44 — Editoval veadet (26. 01. 2019 01:46)

aha .. a jak na to? budeme to musiet urobit pre $n=1$ potom pre $n=k$ a potom overit ci to plati pre $n=k+1$
no pre $n=1$ to plati, to sme overili v pripade $D_1$

laszky · 26. 01. 2019 01:46 — Editoval laszky (26. 01. 2019 01:48)

↑ veadet:

Priblizne tak nejak ;-) Spis bych rekl, ze budes predpokladat, ze ten vztah plati pro $n-1$ a vyuzijes toho pri dukazu vzorecku pro $n$ .

Pro $n=1$ : $D_1=-\sum_{i=1}^1\frac{1}{a_1}\prod_{j=1}^1a_j=-\frac{1}{a_1}\cdot a_1 = -1$ ;-)

Matematické Fórum

#1 26. 01. 2019 00:21 — Editoval veadet (26. 01. 2019 00:28)

hodnota determinantu matice 2

#2 26. 01. 2019 00:45

Re: hodnota determinantu matice 2

#3 26. 01. 2019 00:50

Re: hodnota determinantu matice 2

#4 26. 01. 2019 00:55 — Editoval laszky (26. 01. 2019 00:57)

Re: hodnota determinantu matice 2

#5 26. 01. 2019 01:00

Re: hodnota determinantu matice 2

#6 26. 01. 2019 01:04

Re: hodnota determinantu matice 2

#7 26. 01. 2019 01:06 — Editoval veadet (26. 01. 2019 01:09)

Re: hodnota determinantu matice 2

#8 26. 01. 2019 01:11

Re: hodnota determinantu matice 2

#9 26. 01. 2019 01:13 — Editoval veadet (26. 01. 2019 01:15)

Re: hodnota determinantu matice 2

#10 26. 01. 2019 01:15

Re: hodnota determinantu matice 2

#11 26. 01. 2019 01:15 Příspěvek uživatele veadet byl skryt uživatelem veadet.

#12 26. 01. 2019 01:17 — Editoval veadet (26. 01. 2019 01:18)

Re: hodnota determinantu matice 2

#13 26. 01. 2019 01:18

Re: hodnota determinantu matice 2

#14 26. 01. 2019 01:19 — Editoval veadet (26. 01. 2019 01:22)

Re: hodnota determinantu matice 2

#15 26. 01. 2019 01:26 — Editoval laszky (26. 01. 2019 01:27)

Re: hodnota determinantu matice 2

#16 26. 01. 2019 01:30 — Editoval veadet (26. 01. 2019 01:31)

Re: hodnota determinantu matice 2

#17 26. 01. 2019 01:31

Re: hodnota determinantu matice 2

#18 26. 01. 2019 01:33 — Editoval veadet (26. 01. 2019 01:34)

Re: hodnota determinantu matice 2

#19 26. 01. 2019 01:36

Re: hodnota determinantu matice 2

#20 26. 01. 2019 01:39 — Editoval veadet (26. 01. 2019 01:39)

Re: hodnota determinantu matice 2

#21 26. 01. 2019 01:41 — Editoval laszky (26. 01. 2019 01:41)

Re: hodnota determinantu matice 2

#22 26. 01. 2019 01:42 — Editoval veadet (26. 01. 2019 01:42)

Re: hodnota determinantu matice 2

#23 26. 01. 2019 01:43

Re: hodnota determinantu matice 2

#24 26. 01. 2019 01:44 — Editoval veadet (26. 01. 2019 01:46)

Re: hodnota determinantu matice 2

#25 26. 01. 2019 01:46 — Editoval laszky (26. 01. 2019 01:48)

Re: hodnota determinantu matice 2

Zápatí