Matematické Fórum

elipsa · 27. 01. 2019 11:36

Dobrý deň,
mám problém pri numerickom výpočte vlastných čísel a vektorov.
Chcela by som sa spýtať, ako viem vyjadriť vlastné čísla a vlastné vektory matice A, keď ju mám upravenú v Hessenbergovom tvare. Našla som veľa materiálov obsahujúcich teóriu k tomuto výpočtu, no na ich základe to zatiaľ neviem prakticky vykonať na nejakej konkrétnej matici.

ďakujem

elipsa · 27. 01. 2019 12:46

A ešte dodatok ... numericky to potrebujem spraviť .. čiže nájsť tie vlastné čísla a vektory s istou presnosťou

jardofpr · 28. 01. 2019 01:03

ahoj ↑ elipsa:

marí sa mi že tých postupov je viac a vhodnosť metódy závisí aj na samotnej matici, podmienenosti problému,
záujmu len o reálne alebo aj komplexné vlastné čísla a podobne

takisto hessenbergov tvar nemusí byť konečná stanica ak je výhodné alebo stabilné pokúšať sa
podobnostnými transformáciami o trojuholníkový alebo kvázitrojuholníkový tvar

najpriamejší algoritmus ak mi pamäť slúži je urobiť odhad polohy vlastných čísel,
riešiť systém $\lambda I - H = 0$ numericky pre rôzne hodnoty $\lambda$ čím sa aproximujú
hodnoty charakteristického polynómu a na základe týchto hodnôt potom iteračnou metódou hľadať jeho korene
na intervaloch kde sa mení znamienko

ilustrácia základu pre maticu s nenulovou subdiagonálou (možno ti to na niečo bude)

$H= \begin{bmatrix}1 & 4 & 2 \\ 3 & 4 & 1 \\ 0 &2 & 3\end{bmatrix}$ je v dolnom hessenbergovom tvare, vl. čísla sú $-1,2,7$ čo zatiaľ nevieme

nástrel sa môže urobiť napr. na základe normy,napr. frobeniova $\parallel A \parallel_F = \sqrt{\sum_{i,j=1}^n|a_{ij}|^2}$

nástrel cez normu dáva že vlastné čísla budú ležať v komplexnej rovine medzi kruhmi s polomermi $1/\parallel A^{-1}\parallel_F$ a $\parallel A \parallel_F$

pre moju maticu je $\parallel H\parallel_F \approx 7.746$ a $\parallel H^{-1}\parallel_F\approx 1.427$

takže mám zhruba $0.701 < |\lambda | < 7.746$ $(\star)$

môj systém je

$(\lambda-1)x_1 - 4x_2 - 2x_3 =0$
$-3x_1+(\lambda - 4)x_2-x_3=0$
$-2x_2+(\lambda-3)x_3=0$

dá sa ukázať že ľavá strana prvej rovnice predstavuje násobok hodnoty charakteristického polynómu $\alpha$ matice
vo zvolenom čísle $\lambda$ pri zvolenom vektore $x$ , t.j. keď lambda bude vlastné číslo tak prvá rovnica platí lebo
aj jej ľavá strana bude nulová

bez ujmy sa môže zvoliť posledná súradnica $x_3=1$ , potom pre dané lambda z posledných dvoch rovníc získam $x_2,x_1$ a ľavá strana prvej rovnice už je číslo

zo $(\star)$ mám rozsah tak skúsim $\lambda =0.8$

zvolím $x_3=1$ , z poslednej rovnice mám $x_2=-1.1$ , zo strednej potom $x_1=0.84$

z ľavej strany hornej mám potom $\alpha (\lambda=0.8) \approx 2.232$

podobne napr. pre $\lambda = 3$ získam $x_3 = 1, x_2 = 0, x_1 = -\frac{1}{3}$ a následne $\alpha (3)=-\frac{8}{3}$

vidím že vlastné číslo leží medzi $0.8$ a $3$ a môžem použiť iteračnú metódu

takto získam napr. $\alpha (7.5) \approx 3.898\,,\,\alpha (-0.8) \approx 0.722 \,,\,\alpha (-2)\approx -6.01$

meniace sa znamienka určujú intervaly kde sa vlastné čísla budú nachádzať, iteračná metóda potom ich nájde na požadovanú presnosť

toto je ilustrácia na ľahkej matici a tie hodnoty lambda som vyberal cielene lebo som vedel kde sú vlastné čísla

inak sa to môže komplikovať lebo môžu byť napríklad blízko seba vlastné čísla takže treba dostatočne silné delenie,
môžu byť komplexné vlastné čísla a treba sledovať znamienka reálnej a imaginárnej časti a podobne

prípadne ak je problém niekde inde skús opísať čo si skúšala a kde nastal problém

Matematické Fórum

#1 27. 01. 2019 11:36

Hessenbergov tvar matice

#2 27. 01. 2019 12:46

Re: Hessenbergov tvar matice

#3 28. 01. 2019 01:03

Re: Hessenbergov tvar matice

Zápatí