Matematické Fórum

monak · 28. 01. 2019 19:54

Zdravím! Chtěla bych poprosit o pomoc s úkolem:

Zadání vypadá takto:
Aproximujte metodou nejmenších čtverců fci: $f(x,y) = 1/(1+x^2 +y^2)$ na množine $\Omega =\{[x,y]\in R^2:x^2+y^2<4\}$

pomocí bázových funkcí $\varphi _1 = 1$ , $\varphi _2 = x$ , $\varphi _3 = y$ , ... $\varphi _10 = y^3$

Upřímně netuším, jak začít, ani jak pokračovat. Pokud by měl někdo nápad a poradil mi, byla bych velmi vděčná.

Děkuji.

jardofpr · 28. 01. 2019 21:31

ahoj ↑ monak:

v zásade by cieľom malo byť minimalizovať výraz

$\int_\Omega \Big[f(x,y)-\sum_{i=1}^{10}C_i\varphi_i{(x,y)}\Big]^2\mathrm{d}(x,y)$

vzhľadom na parametre $C_i$

otázka je či to máš riešiť analyticky alebo numericky

a z tvojho zápisu nie je zrejmé ako vyzerajú všetky tvoje bázové funkcie (je ich dokopy 10?)

MichalAld · 28. 01. 2019 21:45

jardofpr napsal(a):
a z tvojho zápisu nie je zrejmé ako vyzerajú všetky tvoje bázové funkcie (je ich dokopy 10?)

Nejspíš to bude

$1,x,y,x^2,xy,y^2,x^3,x^2y,xy^2,y^3$

MichalAld · 28. 01. 2019 21:46

↑ monak:
To má být nějaký jednoduchý příklad, nebo je to něco jako zadání semestrální práce ?

jardofpr · 28. 01. 2019 21:46

ahoj ↑ MichalAld:

tiež som si myslel ale lepšie potvrdiť :)

monak · 29. 01. 2019 08:51

Je to zadání semestrálky. Těch bázových funkcí je opravdu 10, přesně tak, jak píšete :)

monak · 29. 01. 2019 08:54

Číselné zadání k tomu žádné není, takže nejspíše analyticky. (Zadání jsem dostala mailem, proto ta mírná nejistota)

jardofpr · 29. 01. 2019 18:10

ahoj ↑ monak:

zadanie mi príde dostatočné pre oba prístupy, aj keď k numerickému by zrejme bolo ešte udané akú metódu máte použiť

analytický prístup si predstavujem tak, že ak definuješ $g(C_1,C_2, \dots , C_{10}) = \int_\Omega \Big[f(x,y)-\sum_{i=1}^{10}C_i\varphi_i{(x,y)}\Big]^2\mathrm{d}(x,y)$

tak by malo stačiť nájsť minimum funkcie $g$ na $\mathbb{R}^{10}$ štandardnými metódami hľadania extrémov

akurát bude treba spočítať ten integrál aby si sa zbavila premenných $x,y$ , $C_i$ v ňom vystupujú ako konštanty

vzhľadom na kruhovú oblasť zrejme prídu vhod polárne súradnice