Matematické Fórum

zaspicek

Ahoj,

mohl by mi prosím někdo pomoct s tímhle příkladem?

Dokažte, že platí:

Pro všechna $n\ge 1$

$\frac{n}{1+n} < \ln (1+\frac{1}{n})^{n} < 1$

Vím, že pokud udělám indukcí
$n = 1$ tak $\frac{n}{1+n} < \ln (1+\frac{1}{n})^{n}$ neplatí, ale $\ln (1+\frac{1}{n})^{n} < 1$ ano.

Dál už nevím, jak se dostat.

Předem děkuji za pomoc

Rumburak · 04. 02. 2019 10:46

↑ zaspicek:
Ahoj.

Úloh, v nichž figuruje nerovnost $\frac{n}{1+n} < \ln (1+\frac{1}{n})^{n} < 1$ ,
může být mnoho. Zkus napsat přesné zadání Tvé úlohy. To má i pro Tebe význam,
neboť už snaha o přesnou formulací nás často zavede na "správnou stopu".

vlado_bb · 04. 02. 2019 10:47

↑ zaspicek: Preco myslis, ze pre $n = 1$ vztah $\frac{n}{1+n} < \ln (1+\frac{1}{n})^{n}$ neplati?

zaspicek · 04. 02. 2019 11:02

↑ Rumburak: opravil jsem zadání.

↑ vlado_bb: vlastně platí, máš pravdu.

Poté jsem teda upravil na

$\frac{n+1}{n+2} < ln(1 + \frac{1}{n+1})^{n+1} < 1$

Co mam udelat dale?

Rumburak

↑ zaspicek:

Máme-li funkci $f$ definovanou a rostoucí v $\mathbb{R}$ , potom nerovnice $a < b$ je ekvinalentní
s nerovnici $f(a) < f(b)$ . Zkus použít tuto větu, když za $f$ vezmeš funkci $\exp$ .

Alternaticní možností by mohlo být vyjádřit ten přirozený logaritmus integrálem (po drobné úpravě
v tom prostředním členu nerovnice). Ale zcela promyšleno to nemám.

zaspicek · 04. 02. 2019 11:59

↑ Rumburak: moc nechápu co tím myslíš..mohl bys mi to prosím ukázat na příkladu?

krakonoš · 04. 02. 2019 12:17

Ahoj.
Co se tyce primeho dukazu, sesadila bych mocninu a dala n pred logaritmus ,a pak pouzila ,ze logaritmus argumentu je mensi nez argument.Dostaneme,ze je zadany vyraz mensi nez nplus 1, tedy i mensi nez 1.
Pri dukazu opacne nerovnosti sesadit opet mocninu a udelat rozvoj logaritmu v radu.Logaritmus bude vetsi nez prvni dva cleny v rade a z toho to pakvse vyplyne.

Rumburak

↑ zaspicek:

Když za funkci $f$ vezmeme rostoucí funkci $\exp$ , můžeme místo nerovnosti

(1) $\frac{n}{1+n} < \ln (1+\frac{1}{n})^{n} < 1$

dokazovat nerovnost

(2) $\exp \frac{n}{1+n} < \exp \ln (1+\frac{1}{n})^{n} < \exp 1$

neboli
$\exp \frac{n}{1+n} < (1+\frac{1}{n})^{n} < \text{e}$ .

Ale jak jsem napsal, konkretně promyšleno to nemám.

Matematické Fórum

#1 04. 02. 2019 10:31 — Editoval zaspicek (04. 02. 2019 10:59)

Matematická indukce - nerovnice

#2 04. 02. 2019 10:46

Re: Matematická indukce - nerovnice

#3 04. 02. 2019 10:47

Re: Matematická indukce - nerovnice

#4 04. 02. 2019 11:02

Re: Matematická indukce - nerovnice

#5 04. 02. 2019 11:28 — Editoval Rumburak (04. 02. 2019 11:35)

Re: Matematická indukce - nerovnice

#6 04. 02. 2019 11:59

Re: Matematická indukce - nerovnice

#7 04. 02. 2019 12:17

Re: Matematická indukce - nerovnice

#8 04. 02. 2019 14:33 — Editoval Rumburak (04. 02. 2019 14:36)

Re: Matematická indukce - nerovnice

Zápatí