Matematické Fórum

Peroplesk

Řeším docela problematické úlohy, na které mi nestačí žádný tutorial, který jsem našel ohledně řešení aritmetické posloupnosti či jejího součtu.

$s_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2} = n a_1 + \frac{1}{2}n (n-1)d$

Tento vzorec moc nepomáhá, protože nevím, co za co dosadit. Nijak mi nepomohlo ani to, když jsem si přečetl dvě vlákna na tomto fóru, která se věnovala výpočtu podobných příkladů. Asi proto, že autoři vláken k úloze přistupovali s odlišnými (asi rozsáhlějšími) vstupními znalostmi než já. Budu moc rád za to, když mi někdo vysvětlí, jak k řešení těchto příkladů postupovat.

Příklad zní následovně:

Předpokládejte, že $n\geq3$ je přirozené číslo. Vaším úkolem je vyjádřit součet následující aritmetické řady v závislosti na n .
$S(n) = 9 + 13 + 17 + 21 + ... + (4n-3) + (4n+1)$
Nejprve doplňte do následujícího políčka celé číslo (třeba i záporné) tak, aby vztah správně určoval skutečný počet sčítanců v řadě S(n) (každý uzávorkovaný člen bereme za jeden sčítanec).
počet sčítanců = n+( $vyplnit$ )
správná odpověď = n+( $-1$ )

Nyní sem zapište obecný součet řady S(n) jako polynomiální funkci proměnné n .
Výsledek S(n) = $vyplnit$
správná odpověď = $2n^2+3n-5$

laszky · 18. 11. 2018 22:01

↑ Peroplesk:

Ahoj. Prvni clen je 9, druhy clen je 13, treti clen je 17,... k-ty clen je 5+4k

Kolikaty clen je 4n+1?

$4n+1=5+4k \quad \Rightarrow \quad k=\frac{1}{4}(4n+1-5)=n-1$

Ted pouzijes vzorec pro soucet prvnich n-1 clenu posloupnosti:

$S(n) = \frac{(n-1)(a_1+a_{n-1})}{2} = \frac{(n-1)(9+4n+1)}{2} = \frac{4n^2+6n-10}{2} = 2n^2+3n-5$

likju · 05. 02. 2019 11:11

↑ laszky:

Ahoj, mohol by si mi napísať lepšie ako určovať ten počet sčítancov? Nejak sa mi to nedarí, ostatné viem, len ten počet sčítancov mi robí problém nejak. Ako mám na to ísť?

Al1 · 05. 02. 2019 11:22 — Editoval Al1 (05. 02. 2019 11:25)

↑ likju:

Zdravím,

pokud chceš vyjádřit AP pomocí vztahu pro n-tý člen, stačí nají předpis lineární funkce y=ax+b, ve které dokonce platí, že směrnice a je rovna d, tedy diferenci AP. Tady je vidět, že diference je 13-9=4, proto d=4=a. A pak už stačí jen dosadit jeden bod, např. 1. člen má hodnotu 9
Když použiji zavedená značení
$a_{n}=4n+b\nl 9=4+b$

Vztah pro n-tý člen je dán $a_{n}=4n+5$
Proto je k-tý člen $a_{k}=4k+5$

likju · 05. 02. 2019 11:31

↑ Al1:

Ďakujem veľmi pekne za pomoc a rýchlu odpoveď na moju otázku.

Matematické Fórum

#1 18. 11. 2018 21:11 — Editoval Peroplesk (18. 11. 2018 21:19)

Součet aritmetické řady a počet sčítanců

#2 18. 11. 2018 22:01

Re: Součet aritmetické řady a počet sčítanců

#3 05. 02. 2019 11:11

Re: Součet aritmetické řady a počet sčítanců

#4 05. 02. 2019 11:22 — Editoval Al1 (05. 02. 2019 11:25)

Re: Součet aritmetické řady a počet sčítanců

#5 05. 02. 2019 11:31

Re: Součet aritmetické řady a počet sčítanců

Zápatí