Matematické Fórum

jakear · 14. 03. 2018 11:09

Prosím o nějakou radu s touto úlohou:
Nechť $\vec{u}$ a $\vec{v}$ jsou lineárně nezávislé vektory. Dokažte, že
$a\vec{u}$ + $b\vec{v}$
a
$c\vec{u}$ + $d\vec{v}$ jsou lineárně závislé právě tehdy, když determinant
|a b|
|c d| = 0
(Omlouvám se, neumím jej správně zapsat ve zdejším editoru.)

Nejprve jsem si zkusil vyjádřit jednotlivé složky těch dvou vektorů, které vznikly linearni kombinaci prvních dvou, následně jsem si ještě pomocí vztahu ad-bc=0 (determinant) vyjádřil skalár a a zkusil dosadit. Nijak mi to nepomohlo. Mohl by mi, prosím, někdo dát nějakou radu?
Předem děkuji.

DominikBnP · 14. 03. 2018 12:03

↑ jakear:

Zprava doleva:

Pokud je determinant matice s řádky (a,b) a (c,d) 0, pak jsou lineárně závislé také vektory (a,b) a (c,d) a existuje tedy takové nenulové číslo x, že (c,d) = x.(a,b), tedy c=x.a a současně d=x.b.

Potom vektor cu+dv = x.au+x.bv = x.(au+bv). Tedy vektor cu+dv je nenulovým násobkem vektoru au+bv a tyto jsou lineérně závislé.

Zleva doprava: Protože vektory au+bv a vektory cu+dv jsou lineérně závislé, existuje nenulové y takové, že y(au+bv) = cu+dv. Tedy yau + ybv = cu + dv. Lze tedy psát (ya-c)u + (yb-d)v = 0, a protože vektory u a v jsou lineárně nezávislé, tak ya-c=0 a yb-d=0. Tedy c = ya, d = yb. No a pak matice

a b = a b
c d ya yb

a její determinant je 0.

jakear · 14. 03. 2018 12:33

↑ DominikBnP:
Mockrát děkuji! :)

Pavel_J · 05. 02. 2019 23:12

↑ DominikBnP:
Taky mne zajima to co zde pišete:

Pokud je determinant matice s řádky (a,b) a (c,d) 0, pak jsou lineárně závislé také vektory (a,b) a (c,d)

Prosim o dukaz pro determinant n. radu

Děkuji

Matematické Fórum

#1 14. 03. 2018 11:09

Důkaz: lineární závislost

#2 14. 03. 2018 12:03

Re: Důkaz: lineární závislost

#3 14. 03. 2018 12:33

Re: Důkaz: lineární závislost

#4 05. 02. 2019 23:12

Re: Důkaz: lineární závislost

Zápatí