Matematické Fórum

joeyidk · 12. 02. 2019 12:47

Dobrý den, už dlouho se trápím nad tímhle příkladem:

Jaký musí být rozdíl délek l1,l2 vláken na rovnoramenných vahách, aby při zjišťování
hmotnosti tělesa 10 kg na povrchu Země ukázaly váhy rozdíl 0,01 g? Střední hustota Země je
5600 kg/m3. (3,2 m)

Snažil jsem se k výpočtu použít Newtonův gravitační zákon a rozdíl délek l1 a l2 vypočítat jako rozdíl délek r1 a r2, ale změna hmotnosti o 0.01g změnila r řádově o centimetry. (výsledek je 3,2m)

Za jakoukoliv pomoc budu rád.

edison · 12. 02. 2019 15:06

Mohl bys sem hodit své výpočty? Třeba máš někde řádovou chybu. I to se někdy stává.

Ještě mě napadá, jestli tam náhodou není ta střední hustota země uvedená proto, že nemá být uvažována jako hmotný bod.

joeyidk · 12. 02. 2019 16:09

$\varkappa = 6,67259 \cdot 10^{-11}N\cdot m^{2}\cdot kg^{-2}$
$g=9,8\cdot ms^{-2}$
$m_{1}=10kg$
$m_{2}=9,99999kg$
$m_{z}=5,98\cdot 10^{24}kg$
$r=?$
$\ldots \ldots$
$F_{g}=m\cdot g$
$F_{g}=\varkappa \cdot \frac{m_{1}\cdot m_{2}}{r^{2}}$
$\Rightarrow r_{2}=\sqrt{\varkappa \frac{m_{z}\cdot m_{2}{}}{m_{1}\cdot g}}\doteq 6380938,4 m$

$\Rightarrow r_{1}=\sqrt{\varkappa \frac{m_{1}\cdot m_{z}{}}{m_{2}\cdot g}}\doteq 6380944,8 m$
$r_{1}-r_{2}=\underline{\text{6,4m}}$

Jak jsem to počítal znova tak mi to začalo vycházet blíž skutečnému výsledku, zajímavé je že je to přesně dvojnásobek toho výsledku :D.

Všimnul jsem si, že když dosadím za m2 hodnotu o jedno desetinné číslo menší, tak to vychází přesně, ale převod jednotek už jsem překontroloval už tak 5x..

Taky mi úplně nesedí to dosazení za hmotnost do jmenovatele. Logicky bych dosazoval stejnou hmotnost jako v čitateli, ale to by se vše zkrátilo..

zdenek1 · 12. 02. 2019 18:15

↑ joeyidk:
To nevypadá správně
Na obě závaži působí gravitační síly
$\frac{GMm}{R^2}$ na to bližší a
$\frac{GMm}{(R+x)^2}$ na to vzdálenější
Rozdíl těch sil můžeme interpretovat jako rozdíl hmotností, tj.
$\frac{GMm}{R^2}-\frac{GMm}{(R+x)^2}=\Delta m \frac{GM}{R^2}$
kde $\frac{GM}{R^2}$ je gravitační zrychlení
Trochu úprav
$GMm\left(\frac1{R^2}-\frac1{(R+x)^2}\right)=\Delta m\frac{GM}{R^2}$
$m\frac{(R+x)^2-R^2}{R^2(R+x)^2}=\frac{\Delta m}{R^2}$

$\left(1-\frac{\Delta m}{m}\right)x^2+2Rx\left(1-\frac{\Delta m}{m}\right)-\frac{\Delta m}{m}R^2=0$

Po dosazení $\frac{\Delta m}m=10^{-6}$ a $R=6371\cdot10^3\ \text m$ vychází $x=3,18\ \text m$

LukasM · 12. 02. 2019 18:20 — Editoval LukasM (12. 02. 2019 18:22)

↑ joeyidk:
Je nešťastné počítat tam s nějakou virtuální koulí o hmotnosti 9,99999 kg, když tam žádná taková není a jediné, co se liší, jsou síly. V tom máš také tu chybu. Při výpočtu $r_2$ má být v čitateli také $m_1$ , takže se zkrátí - tím spočítáš, jak daleko od středu Země je koule, na kterou působí tíhové zrychlení $g$ (to na její hmotnosti nezávisí). Výpočet $r_1$ je pak vlastně dotaz: kde by koule musela být, aby na ní působila taková síla, jako v té původní výšce působí na kouli o hmotnosti 9,99999 kg? A to už máš správně a odečtením ti to i správně vyjde. Ale je to velmi nepřehledné škrábání levou rukou za pravým uchem a nedivím se, že jsi přitom udělal chybu.

Já bych se asi stejně pokusil vyhnout počítání těch vzdáleností zvlášť, protože při odečítání velkých a podobných čísel to bude dost závislé právě na zaokrouhlování a bude to dost počítání, Zkusil bych si napsat přímo rozdíl těch sil:
$\Delta F=\varkappa \frac{mM}{r^2}-\varkappa \frac{mM}{(r+\Delta r)^2}$
a z něj prostě vyjádřit $\Delta r$ . V mém značení je $m$ hmotnost koule a $M$ hmotnost Země.

Edit: zdenek1 to už rozepsal za mně (byť jsem osobně upravoval jinak), ale příspěvek tu nechám, třeba ti ten komentář k tvému postupu k něčemu bude. Snad jsem ho rozklíčoval správně.

edison · 12. 02. 2019 18:30 — Editoval edison (12. 02. 2019 18:31)

Já to cvičně zkusil taky:
1. Váha se změní o 1/1000000, tedy se např. v poměru 1,000001.
2. Síla závisí na druhé mocnině vzdálenosti, takže: Odmocnina z prvního kroku je 1,000000499999875...
3. Když se tím vynásobí poloměr 6371000 m, vznikne 6 371 003,18549.
Tedy o 3,185... m více.

Edit: Ale zajímalo by mě, proč je v zadání ta hustota země, ale není tam poloměr.

edison · 12. 02. 2019 18:40 — Editoval edison (12. 02. 2019 18:42)

Obdobně triviální úvahou pak lze dojít k tomu, že odpověď by mohla končit: Za předpokladu, že poloměr od středu Země je v místě experimentu 6411 km, vyjde 3,2 m:-)

Která velehora je nejblíž k rovníku? Tam by se to mohlo konat...

Jj · 12. 02. 2019 19:55

↑ edison:

Zdravím.

Nejméně nevhodným kandidátem by asi by mohla být ekvádorská hora Chimborazo, jejíž vrchol má být od středu země vzdálen cca 6 384 404 m (vrchol Mount Everestu prý jen 6 381 670 m).

Lepší místo se už asi nenajde.

Viz Odkaz + omluva za OT.

MichalAld · 12. 02. 2019 21:45

Nicmémě samotného mě překvapilo, že se tíhová síla změní až tolik, když se to zvedne o pár metrů. Vždyť tohle si člověk skoro může vyzkoušet doma na balkóně...

edison · 12. 02. 2019 21:55

Před nějakou dobou jsem narazil na informaci, že tohoto problému si všimli i na vedení pošty a díky tomu se musí váhy nejen pravidelně kalibrovat, ale navíc pro konkrétní místo užití.
(ale předpokládám, že důvodem bude spíš přilepšení od majitele spřátelené kalibrační firmy)

Zajímavé ovšem je, že to vůbec není tak triviální a ta tíhová síla nezávisí jen na výšce, ale ještě víc na okolí a podloží.

MichalAld · 12. 02. 2019 22:54

Jo jo....

MichalAld · 12. 02. 2019 22:56

edison napsal(a):
Před nějakou dobou jsem narazil na informaci, že tohoto problému si všimli i na vedení pošty a díky tomu se musí váhy nejen pravidelně kalibrovat, ale navíc pro konkrétní místo užití.

Tak to je jasný, co kdyby měl někdo balíček náhodou o 3 mg těžší než ukáže váha - a vyhnul se tak vyšší ceně...když pořádek, tak pořádek, to je přece jasné...

Matematické Fórum

#1 12. 02. 2019 12:47

Gravitační pole a rovnoramenná váha

#2 12. 02. 2019 15:06

Re: Gravitační pole a rovnoramenná váha

#3 12. 02. 2019 16:09

Re: Gravitační pole a rovnoramenná váha

#4 12. 02. 2019 18:15

Re: Gravitační pole a rovnoramenná váha

#5 12. 02. 2019 18:20 — Editoval LukasM (12. 02. 2019 18:22)

Re: Gravitační pole a rovnoramenná váha

#6 12. 02. 2019 18:30 — Editoval edison (12. 02. 2019 18:31)

Re: Gravitační pole a rovnoramenná váha

#7 12. 02. 2019 18:40 — Editoval edison (12. 02. 2019 18:42)

Re: Gravitační pole a rovnoramenná váha

#8 12. 02. 2019 19:55

Re: Gravitační pole a rovnoramenná váha

#9 12. 02. 2019 21:45

Re: Gravitační pole a rovnoramenná váha

#10 12. 02. 2019 21:55

Re: Gravitační pole a rovnoramenná váha

#11 12. 02. 2019 22:54

Re: Gravitační pole a rovnoramenná váha

#12 12. 02. 2019 22:56

Re: Gravitační pole a rovnoramenná váha

edison napsal(a):

Zápatí