Matematické Fórum

pepa999 · 27. 05. 2009 12:24

Dobrý den, řekne mi prosím někdo, jak se dají vyřešit tyto dva příklady?
1) |a + b| = |a| + |b|
2) |a - b| = |a| - |b|
Předem děkuji za odpovědi

Rumburak · 28. 05. 2009 16:16

Předpokládám, že čísla a,b mají být reálná - v komplexním oboru by byl postup odlišný.

1. První rovnici bych umocnil na druhou (obě její strany jsou nezáporné, takže jde o ekvivalentní úpravu),
po dalších úpravách vychází ab = |a||b| , tj. ab >= 0 , z toho $[(a \ge 0)\wedge (b \ge 0)] \, \vee\, [(a \le 0)\wedge (b \le 0)]$

2. Druhou rovnici nejprve upravím na |a - b| + |b| = |a| (aby byly obě její strany nezáprné - viz bod 1),
po umocnění
$(a-b)^2 + 2|a-b|\cdot|b| + b^2 = a^2$ ,
$a^2-2ab +b^2 + 2|a-b|\cdot|b| + b^2 = a^2$ ,
$-2ab +2b^2 + 2|a-b|\cdot|b| = 0$ ,
$-b(a-b) + |a-b|\cdot|b| = 0$ ,
$|a-b|\cdot|b| = b(a-b)$ ,
$b(a-b) \ge 0$ ,
z toho $(a \ge b \ge 0) \, \vee\, (a \le b < 0)$ .

Není to jediný způsob, jak postupovat, a není to jediný způsob, jak zapsat výsledek, který vypovídá
pouze o vztahu mezi čísly a, b , nikoliv o těchto číslech samotných.

Matematické Fórum

#1 27. 05. 2009 12:24

Jedna lineární rovnice s absolutní hodnotou se dvěma neznámími

#2 28. 05. 2009 16:16

Re: Jedna lineární rovnice s absolutní hodnotou se dvěma neznámími

Zápatí