Matematické Fórum

Označme d_i i-tý řádek matice D (je roven i-tému sloupci), r_i i-tý řádek matice N a  c_i i-tý řádek matice N. Z definice násobení matic je zadaná rovnost ekvivalentní s rovností skalárních součinů
d_i*c_j=r_i*d_j
pomůže nám si uvědomit, že d_i obsahuje skoro samé nuly (nenula může být jen na i-té pozici), podobně v r_i pouze na i+1-té pozici a v c_i na i-1-té pozici. Pokud v součinu nebudou nuly na stejných pozicích, součin vyjde 0 (viz (0,1,0)*(1,0,0)=0). Součin nalevo je určitě nulový krom případu kdy i=j-1, součin napravo krom případu kdy i+1=j (tj. toho samého). Zbývá dokázat, že
d_i*c_(i+1)=r_i*d_(i+1)       (1)
I zde se může stát, že jsou obě strany nulové, pak by rovnost byla splněna. Předpokládejme ale, že levá strana nulová není. Pak c_(i+1) má na i-té pozici jedničku, takže na i-tém řádku v i+1-tém sloupci je 1, takže r_i=1. Dále víme, že N obsahuje jedničky jen uvnitř Jordanových buněk, takže i-té a i+1-té vlastní číslo jsou stejné. Proto d_i obsahuje na i_té pozici stejné číslo, jako d_(i+1) na i+1-té pozici. Proto v (1) nastává rovnost. Pokud je nenulová pravá strana, je důkaz analogický.

----------------------
To umocnění v levé části má být na n-tou, předpokládám.

Důkaz druhé části je pak analogický s důkazem binomické věty: představíme si součin n-závorek (N+D)*(N+D)*...*(N+D). Z distributivity to můžeme celé roznásobit, vyjde nám
DDDD....D+NDDDD...+....+NN..N, zkrátka součet dílčích součinů, kde každý součin obsahuje n matic. Z první části víme, že v takovém dílčím součinu můžeme přehazovat libovolně N a D. Jakou bude mít hodnotu dílčí součin tedy nezáleží na pořadí matic N, D, ale jen na jejich počtu. Otázka zní, kolik tam bude takových dílčích součinů, že budou obsahovat k D-ček a n-k N-ek? Není těžké rozmyslet, že (n nad k). Máme totiž n závorek, k z nich zvolíme, z těch vezmeme N a ze zbylých D. A jsme vlastně u cíle (stačí sečíst dílčí součiny).

---------------------
Tady se určitě využije věta, že A lze psát jako BJB^(-1), kde J je Jordanův kanonický tvar matice A a B a B^(-1) jsou vzájemně inverzni regulární matice. Pak totiž při umocňování A^k=AA...A při rozepsání těch matic se vnitřní B-čka zkrátí, zbude B(J^k)B^(-1). Kdybychom nenulovou matici J^k násobili regulárními maticemi B, B^(-1), nedostaneme nulovou matici. Proto musí být samo J^k nulové. A teď se využije vzorec ze druhé části, zkus přijít na to jak :) (zatím to taky nevím, ale už půjdu spát)