Matematické Fórum

↑ Manrong: Čo je to hypoteticky? Koľko vecí treba zjednodušiť a prebrať z kníh? Najhlbší vrt bol tuším 10 km. Dokiaľ Zem neprevŕtaš, nikdy sa nedozvieš čo by sa stalo naozaj.

PS: Hypoteticky sa ti kameň vráti späť. Menej hypoteticky sa roztrieska o steny vrtu a ostane kdesi v strede Zeme. Ešte menej hypoteticky ten vrt nikdy nespravíš.

Pokud bude Země pěkně kulatá, a hustota (měrná hmotnost) toho co ji tvoří bude všude stejná, tak bude tíhové zrychlení lineárně klesat směrem ke středu Země, kde bude nulové. Takže i bez počítání (jen z té lineární závislosti) můžeme dokonce napsat vzorec



To "z" značí, že se daná veličina (radius, či zrychlení) týká povrchu Země.

Pokud by hustota toho, co Zem tvoří, nebyla všude stejná (ale byla sféricky symetrická), tak to můžeme spočítat taky, ale je to trochu složitější. Lze ukázat, že v nějakém poloměru r je takové, jako bychom vzali v úvahu jen hmotnost toho, co je uvnitř koule o poloměru r. Co je nad tím, už ke g v dané výšce nepřispívá.

Jenomže vzhledem k tomu, že stejně neznáme rozložení hustoty země, tak se tím nemusíme moc trápit.
Ještě bych upozornil na to, že g bude stejné, ať už se nám podaří či nepodaří prokopat ten tunel skrze Zemi.

Pokud by nás zajímalo, jak se těleso v takovémto gravitačním poli pohybuje, nezbude než vyřešit příslušnou diferenciální rovnici. V tomto případě (pro lineární závislost g).



kde k je to

Máme zrovna štěstí, je to lin. rovnice druhého řádu, kterou určitě všichni znají - a výsledek je, že to bude kmitat úplně stejně jako závaží na pružině, čili harmnické kmity.

Aspoň doufám...moc jsem nad tím nebádal (spíš si to pamatuji, tak jen doufám, že správně). Ta myšlenka, že gravitační pole na poloměru r je tvořeno jen tím co je uvnitř této koule je správná určitě, to lze celkem snadno ukázat - pomocí Gaussovy věty, stejně jako v elektrostatice. A hmotnost roste s 3. mocninou poloměru, zatímco síla klesá s druhou, takže by mělo g s poloměrem lineárně narůstat.