Matematické Fórum

zzzz1 · 02. 03. 2019 22:23

Potřebuji dokázat následující tvrzení

$\langle u,v\rangle=u^TAv$ je skalární součin $\Leftrightarrow a_{11}>0 \wedge \det A >0$ . Kde $u,v \in \mathbb{R}^2$ , A je reálná symetrická matice řádu 2.

vanok · 02. 03. 2019 23:48

Ahoj ↑ zzzz1:,
Pouzi definiciu skalarneho sucinu.
Je to >>>>>pozri sem https://cs.m.wikipedia.org/wiki/Skalárn%C3%AD_součin

laszky · 03. 03. 2019 00:08 — Editoval laszky (03. 03. 2019 00:51)

↑ zzzz1:

Ahoj, potrebujes ukazat, ze matice A je pozitivne definitni a podminka $a_{11}>0 \wedge \det A >0$ se nazyva Sylvesterovo kriterium.

V tomto 2D pripade pro vlastni cisla matice A plati

$\lambda_1\lambda_2=\det A>0$
$\lambda_1+\lambda_2=\mathrm{tr}\,A = a_{11}+a_{22} = a_{11}+\frac{\det A +a_{12}^2}{a_{11}}>0$

Z prvni nerovnosti vyplyva, ze vlastni cisla maji stejna znamenka, z druhe, ze jejich soucet je kladny. Jsou tedy obe dve kladna.

vanok · 03. 03. 2019 00:44

Cau ↑ laszky:,
Ano ale asi sa tu caka priamo overit definiciu skalarneho sucinu.
A overit ze dana podmienka je ekvivalentna z jeho definiciou. (Tu ju este raz primeniem jeho definiciu: skalarny sucin je symetricka bilinearna forma, definitne pozitivna na nejakom realnom vektorovom priestore ).

Dáda78 · 04. 03. 2019 12:04

Ahoj, tenhle příklad mě také zaujal, ale vůbec nevím, jak ho uchopit. Podle rad jsem pochopil, že radíte dokázat podmínky skalárního součinu, jako je symetrie, linearita atd. Jak do toho ale zakomponovat například ten determinant?

vanok · 05. 03. 2019 06:08 — Editoval vanok (05. 03. 2019 17:12)

Ahoj ↑ Dáda78:,
Vsak tu si v pripade matic typu 2x2.
A tato $a_{11}>0 \wedge \det A >0$ podmienka znamena, ze principalne minory (= subbdeterminanty ) su $>0$ .

A vseobecne plati Sylvester-ove ktiterium o kladnych principalnych ninoroch.

Matematické Fórum

#1 02. 03. 2019 22:23

Skalární součin

#2 02. 03. 2019 23:48

Re: Skalární součin

#3 03. 03. 2019 00:08 — Editoval laszky (03. 03. 2019 00:51)

Re: Skalární součin

#4 03. 03. 2019 00:44

Re: Skalární součin

#5 04. 03. 2019 12:04

Re: Skalární součin

#6 05. 03. 2019 06:08 — Editoval vanok (05. 03. 2019 17:12)

Re: Skalární součin

Zápatí