Matematické Fórum

Verquido · 02. 03. 2019 15:57

Zdravím,

Potřeboval bych poradit jak postupovat při počítání soustavy lineárních nerovnic pomocí matice (algebraické řešení).

Nevím přesně jak to tam chodí s tím přechodem z "<, >, >=, <=" na "=" .
//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-03/38591_V%25C3%25BDdst%25C5%2599i%25C5%25BEek.PNG

Zadání příkladu mám například:

Děkuji :)

jardofpr

ahoj ↑ Verquido:

zvyčajne sa prechod k rovniciam robí zavedením takzvaných kladných pomocných premenných
vzniknutý systém rovníc sa niekedy označuje ako adjungovaný systém k systému nerovníc

schéma je taká, že zavedením pomocných premenných vznikne systém rovníc ktorý vieme riešiť
štandardnými metódami pre lineárne systémy ako je napríklad Gaussova eliminácia

všeobecné riešenie systému nerovníc je potom závislé na pomocných premenných

k tvojmu príkladu

adjungovaný systém rovníc vyzerá tak:

$\begin{bmatrix}x_1+x_2-2x_3-x_4\qquad\qquad&=&1\\ 2x_1+x_2+2x_3\qquad+x_5\qquad&=&4\\3x_2+2x_2+x_3\qquad\qquad+x_6&=&2\end{bmatrix}$ kde $x_4,x_5,x_6\geq 0$

systém vieme riešiť elimináciou a dostaneme sa k všeobecnému riešeniu pôvodného systému v tvare
$\begin{bmatrix}x_1 = f_1(x_4,x_5,x_6)\\ x_2 = f_2(x_4,x_5,x_6)\\x_3=f_3(x_4,x_5,x_6)\end{bmatrix}\,\,\,x_4,x_5,x_6\geq 0$ kde $f_i$ sú lineárne funkcie

akékoľvek partikulárne riešenie systému dostaneme voľbou konkrétnych hodnôt parametrov $x_4,x_5,x_6$

Verquido napsal(a):
Nevím přesně jak to tam chodí s tím přechodem z "<, >, >=, <=" na "=" .

štandardne sa:
pri $<$ k ľavej strane konkrétnej nerovnosti pripočíta pomocná premenná $x_i$ , pričom $x_i>0$
pri $\leq$ k ľavej strane konkrétnej nerovnosti pripočíta pomocná premenná $x_i$ , pričom $x_i\geq 0$
pri $>$ od ľavej strany konkrétnej nerovnosti odpočíta pomocná premenná $x_i$ , pričom $x_i>0$
pri $\geq$ od ľavej strany konkrétnej nerovnosti odpočíta pomocná premenná $x_i$ , pričom $x_i\geq 0$

vieš si rozmyslieť prečo?

Verquido · 03. 03. 2019 14:50

Děkuji za příspěvek ↑ jardofpr:

Takže to chápu tak, že když bude u rovnice znaménko $>$ nebo $>=$ tak bude u přidané proměné $-$ a ostatní budou $+$ . Ale nedokážu si odůvodnit proč.

Když zavedu pomocné proměnné tak mohu použít eliminační metody. K čemu se ale chci přesně pomocí těchto metod dostat? Myslím, že bylo cílem někde dostat jednotkovou matici, je to tak? Jaký by byl postup od toho přiřazení pomocných proměných?

Není také cílem dostat při přidávání pomocných proměných na pravé straně nuly?

Ty linearni funkce $f_{i}$ jsou výsledky rovnic?

jardofpr · 03. 03. 2019 15:56

↑ Verquido:

ako fungujú pomocné premenné je dobre vidieť na jednej nerovnici

napríklad majme nerovnicu $x_1\leq 2$ pri ktorej vieme hneď že všeobecným riešením je $x_1\in (-\infty,2]$

zaveďme pomocnú premennú $x_2\geq 0$ , t.j. máme $x_1+x_2 = 2$

všeobecné riešenie je teraz vyjadrené parametricky cez pomocnú premennú,

$x_1=2-x_2=f_1(x_2)$ , dúfam že je vidno že množina riešení pôvodnej nerovnice je obrazom intervalu $[0,\infty)$ pri funkcii $f_1$

presne tak isto to funguje pre systém

dajme ľahší príklad s dvomi nerovnicami

$x_1+x_2\geq 2\,,\,x_1-x_2\leq 2$

zavedenie pomocných premenných vedie na systém rovníc

$\begin{bmatrix}x_1+x_2-x_3\qquad&=&2\\x_1-x_2\qquad+x_4&=&2\end{bmatrix}$

maticový zápis systému pred a po gaussovej eliminácii:

$\begin{bmatrix}1&1&-1&0&|&2\\ 1&-1&0&1&|&2\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix}1&0&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&|&2\\0&1&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&|&0\end{bmatrix}$

chceš dostať jednotkovú submaticu pre pôvodné premenné ktorá ako píšem vyššie umožní popísať riešenie parametricky, z riadku vyššie je

$\begin{bmatrix}x_1&=&2+\frac{1}{2}x_3-\frac{1}{2}x_4&=&f_1(x_3,x_4)\\x_2&=&\qquad\frac{1}{2}x_3+\frac{1}{2}x_4&=&f_2(x_3,x_4)\end{bmatrix}$ kde $x_3,x_4\geq 0$

to už je všeobecné riešenie

Verquido napsal(a):
Takže to chápu tak, že když bude u rovnice znaménko $>$ nebo $>=$ tak bude u přidané proměné $-$ a ostatní budou $+$ . Ale nedokážu si odůvodnit proč.

pri $\leq$ hodnota výrazu na ĽS v nerovnici pre pevne zvolené hodnoty pôvodných premenných je menšia alebo rovná
číslu na PS nerovnice, t.j. aby z toho bola rovnosť treba pripočítať niečo nezáporné
v príklade čo píšem vyššie $x_1\leq 2$ keď vezmem $x_1=2$ viem "pripočítať nulu", keď vezmem $x_1=1$
tak pripočítam $x_2=1$ aby bola rovnosť splnená .. dáva zmysel?

Verquido napsal(a):
Když zavedu pomocné proměnné tak mohu použít eliminační metody. K čemu se ale chci přesně pomocí těchto metod dostat? Myslím, že bylo cílem někde dostat jednotkovou matici, je to tak? Jaký by byl postup od toho přiřazení pomocných proměných?

Popisujem vyššie

Verquido napsal(a):
Není také cílem dostat při přidávání pomocných proměných na pravé straně nuly?

Nie

Verquido napsal(a):
Ty linearni funkce $f_{i}$ jsou výsledky rovnic?

Sú to parametrické vyjadrenia všeobecného riešenia cez parametre=pomocné premenné

Verquido · 03. 03. 2019 22:13

↑ jardofpr:

Tak jsem to asi už pochopil :) Počítal jsem ten příklad jak jsem posílal v prvním příspěvku. Provedl jsem přiřazení proměnných a eliminaci přes Gaussovu metodu.

Snad je to správně. (a neumím tu v editoru udělat matici tak posílám fotku)

//forum.matweb.cz/upload3/img/2019-03/47497_IMG_20190303_220658.jpg

Vyšlo mi tedy:

$x_1 = 15 + 3x_3 - 5x_4 + 4x_5 = f1(x_3;x_4;x_5)$
$x_2 = -20 - 4x_3 +7x_4 - 6x_5 = f1(x_3;x_4;x_5)$
$x_3 = -3 - x_3 + x_4 - x_5 = f1(x_3;x_4;x_5)$

A to je jako výsledek ano?

jardofpr · 03. 03. 2019 22:39

↑ Verquido:

všetky kroky až na posledné tri riadky mi prídu ok, t.j. až po úspešnú elmináciu sa mi to zdá správne

preklepol si sa pri prepise výsledku, pomocné premenné sú $x_4,x_5,x_6$

čo sa týka funkcií $f_i$ , netreba ich v zápise riešenia, to bolo všeobecné označenie pri formálnom zápise
v príspevku vyššie, t.j. stačí vyjadrenie pôvodných premenných
(a sú tam tri rôzne funkcie keď už, f1,f2,f3)

a !pozor!, obmedzenia $x_i\geq 0$ platia pre pomocné premenné = parametre, nie pre pôvodné premenné
je jasné prečo?

Verquido · 03. 03. 2019 23:20

↑ jardofpr:

Ano s těmi $x_4,x_5,x_6$ a $f_i$ jsem se přepsal.

Omezení asi také chápu, to je přesně kvůli tomu jak jsme řešili přiřazení těch proměnných že? Aby vycházelo to proč jsme rozlišovali $<, >, \le a \ge$ . Neumím to úplně popsat.

A děkuji za provedení.

Matematické Fórum

#1 02. 03. 2019 15:57

Soustava lineárních nerovnic pomocí matic

#2 03. 03. 2019 11:43 — Editoval jardofpr (03. 03. 2019 11:56)

Re: Soustava lineárních nerovnic pomocí matic

Verquido napsal(a):

#3 03. 03. 2019 14:50

Re: Soustava lineárních nerovnic pomocí matic

#4 03. 03. 2019 15:56

Re: Soustava lineárních nerovnic pomocí matic

Verquido napsal(a):

Verquido napsal(a):

Verquido napsal(a):

Verquido napsal(a):

#5 03. 03. 2019 22:13

Re: Soustava lineárních nerovnic pomocí matic

#6 03. 03. 2019 22:39

Re: Soustava lineárních nerovnic pomocí matic

#7 03. 03. 2019 23:20

Re: Soustava lineárních nerovnic pomocí matic

Zápatí